Номер 152, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

152. a) Диагонали ромба равны 6 дм и 8 дм. Найдите его сторону.

б) Периметр ромба равен 52 см, одна из его диагоналей равна 10 см. Найдите вторую диагональ ромба.

a)

Дано:

Диагонали ромба: $d_1 = 6 \text{ дм}$, $d_2 = 8 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$d_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$d_2 = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Сторона ромба $a$.

Решение:

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Это свойство образует четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника, где половина каждой диагонали является катетом, а сторона ромба — гипотенузой. Пусть $a$ – сторона ромба, $d_1$ и $d_2$ – его диагонали. Согласно теореме Пифагора, для любого из этих прямоугольных треугольников выполняется соотношение:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Вычислим половинки диагоналей:

$\frac{d_1}{2} = \frac{0.6 \text{ м}}{2} = 0.3 \text{ м}$

$\frac{d_2}{2} = \frac{0.8 \text{ м}}{2} = 0.4 \text{ м}$

Теперь подставим эти значения в формулу Пифагора:

$a^2 = (0.3 \text{ м})^2 + (0.4 \text{ м})^2$

$a^2 = 0.09 \text{ м}^2 + 0.16 \text{ м}^2$

$a^2 = 0.25 \text{ м}^2$

Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень:

$a = \sqrt{0.25 \text{ м}^2}$

$a = 0.5 \text{ м}$

Переведем результат обратно в дециметры:

$a = 0.5 \text{ м} \times 10 \text{ дм/м} = 5 \text{ дм}$

Ответ: Сторона ромба равна 5 дм.

б)

Дано:

Периметр ромба $P = 52 \text{ см}$.

Одна из диагоналей $d_1 = 10 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$P = 52 \text{ см} = 0.52 \text{ м}$

$d_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Вторая диагональ ромба $d_2$.

Решение:

Ромб является четырехугольником, у которого все четыре стороны равны. Пусть $a$ – сторона ромба. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

Найдем сторону ромба $a$:

$a = \frac{P}{4}$

$a = \frac{0.52 \text{ м}}{4}$

$a = 0.13 \text{ м}$

Для ромба существует соотношение между его стороной и диагоналями: $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$. Из этой формулы можем выразить квадрат второй диагонали $d_2^2$:

$d_2^2 = 4a^2 - d_1^2$

Затем найдем $d_2$, извлекая квадратный корень:

$d_2 = \sqrt{4a^2 - d_1^2}$

Подставим известные значения:

$d_2 = \sqrt{4 \cdot (0.13 \text{ м})^2 - (0.1 \text{ м})^2}$

$d_2 = \sqrt{4 \cdot 0.0169 \text{ м}^2 - 0.01 \text{ м}^2}$

$d_2 = \sqrt{0.0676 \text{ м}^2 - 0.01 \text{ м}^2}$

$d_2 = \sqrt{0.0576 \text{ м}^2}$

$d_2 = 0.24 \text{ м}$

Переведем результат обратно в сантиметры:

$d_2 = 0.24 \text{ м} \times 100 \text{ см/м} = 24 \text{ см}$

Ответ: Вторая диагональ ромба равна 24 см.