Номер 149, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

149. a) Верно ли, что если для треугольника с большей стороной a и двумя другими сторонами b и c не выполняется равенство $c^2 + b^2 = a^2$, то он не является прямоугольным?

б) Во сколько раз увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый из его катетов увеличится в $n$ раз?

в) На сколько процентов увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый его катет увеличить на 10 %?

а) Верно ли, что если для треугольника с большей стороной a и двумя другими сторонами b и c не выполняется равенство $c^2 + b^2 = a^2$, то он не является прямоугольным?

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (наибольшей стороны) равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, если $a$ — наибольшая сторона, то для прямоугольного треугольника должно выполняться равенство $a^2 = b^2 + c^2$.

Обратная теорема Пифагора утверждает, что если для сторон треугольника $a, b, c$ выполняется равенство $a^2 = b^2 + c^2$ (где $a$ — наибольшая сторона), то этот треугольник является прямоугольным, и прямой угол лежит напротив стороны $a$.

Утверждение в вопросе является контрапозицией обратной теоремы Пифагора. Контрапозиция истинного утверждения всегда истинна. Поскольку обратная теорема Пифагора верна, то и ее контрапозиция, которая звучит как "если $a^2 \neq b^2 + c^2$, то треугольник не является прямоугольным", также верна.

Ответ: Да, это верно.

б) Во сколько раз увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый из его катетов увеличится в n раз?

Дано:

Исходные катеты: $b_0$, $c_0$

Новые катеты: $b_1 = nb_0$, $c_1 = nc_0$

Найти:

Отношение новой гипотенузы к исходной ($a_1 / a_0$)

Решение:

Для исходного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора гипотенуза $a_0$ равна:

$a_0 = \sqrt{b_0^2 + c_0^2}$

Для нового треугольника с катетами $b_1$ и $c_1$ новая гипотенуза $a_1$ равна:

$a_1 = \sqrt{b_1^2 + c_1^2}$

Подставим значения новых катетов:

$a_1 = \sqrt{(nb_0)^2 + (nc_0)^2}$

$a_1 = \sqrt{n^2b_0^2 + n^2c_0^2}$

Вынесем $n^2$ за скобки под корнем:

$a_1 = \sqrt{n^2(b_0^2 + c_0^2)}$

Извлечем $n^2$ из-под корня (поскольку $n$ — это множитель, он положителен):

$a_1 = n\sqrt{b_0^2 + c_0^2}$

Заметим, что $\sqrt{b_0^2 + c_0^2}$ — это исходная гипотенуза $a_0$. Поэтому:

$a_1 = na_0$

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась гипотенуза, разделим новую гипотенузу на исходную:

$\frac{a_1}{a_0} = \frac{na_0}{a_0} = n$

Ответ: В $n$ раз.

в) На сколько процентов увеличится гипотенуза прямоугольного треугольника, если каждый его катет увеличить на 10%?

Дано:

Исходные катеты: $b_0$, $c_0$

Каждый катет увеличивается на 10%. Это означает, что новый катет составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от исходного, то есть умножается на $1.1$.

Новые катеты: $b_1 = 1.1b_0$, $c_1 = 1.1c_0$

Найти:

Процентное увеличение гипотенузы.

Решение:

Согласно решению из пункта (б), если каждый катет прямоугольного треугольника увеличивается в $n$ раз, то и гипотенуза увеличивается в $n$ раз.

В данном случае, катеты увеличиваются в $n = 1.1$ раза.

Следовательно, если $a_0$ — исходная гипотенуза, то новая гипотенуза $a_1$ будет:

$a_1 = 1.1a_0$

Абсолютное увеличение гипотенузы равно разнице между новой и исходной гипотенузами:

$\Delta a = a_1 - a_0 = 1.1a_0 - a_0 = 0.1a_0$

Чтобы выразить это увеличение в процентах, используем формулу:

$\text{Процентное увеличение} = \frac{\text{Абсолютное увеличение}}{\text{Исходное значение}} \times 100\%$

$\text{Процентное увеличение} = \frac{0.1a_0}{a_0} \times 100\%$

$\text{Процентное увеличение} = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Ответ: На 10%.