Номер 180, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

180. a) Хорда длиной 5 см стягивает дугу окружности, градусная мера которой равна $40^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние от центра окружности до этой хорды.

б) Угол между касательными, проведенными из некоторой точки к окружности радиуса 8 см, равен $30^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние между точками касания.

а) Хорда длиной 5 см стягивает дугу окружности, градусная мера которой равна 40°. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние от центра окружности до этой хорды.

Дано:

Длина хорды $L = 5 \text{ см}$

Градусная мера дуги $ \alpha = 40^\circ$

Перевод в СИ:

$L = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$ \alpha = 40^\circ = \frac{40 \pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{9} \text{ рад} $

Найти:

Расстояние от центра окружности до хорды $h$

Решение:

Пусть $R$ – радиус окружности. Центральный угол, опирающийся на хорду, равен градусной мере дуги, которую она стягивает. Таким образом, центральный угол, соответствующий хорде, равен $40^\circ$.

Расстояние от центра окружности до хорды $h$ является высотой равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Эта высота делит хорду пополам и центральный угол пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и искомым расстоянием $h$.

Половина длины хорды равна $ \frac{L}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$.

Половина центрального угла равна $ \frac{\alpha}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике, синус половины центрального угла равен отношению половины хорды к радиусу:

$ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{L/2}{R} $

Отсюда найдем радиус $R$:

$ R = \frac{L/2}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{2.5}{\sin(20^\circ)} $

$ R \approx \frac{2.5}{0.34202} \approx 7.310 \text{ см} $

Расстояние $h$ является прилежащим катетом к углу $20^\circ$. Косинус половины центрального угла равен отношению расстояния $h$ к радиусу:

$ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h}{R} $

Выразим $h$:

$ h = R \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2.5}{\sin(20^\circ)} \cdot \cos(20^\circ) = 2.5 \cdot \cot(20^\circ) $

$ h \approx 2.5 \cdot 2.74747 \approx 6.868675 \text{ см} $

Округлим до 0,1 см:

$ h \approx 6.9 \text{ см} $

Ответ: $6.9 \text{ см}$

б) Угол между касательными, проведенными из некоторой точки к окружности радиуса 8 см, равен 30°. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние между точками касания.

Дано:

Радиус окружности $R = 8 \text{ см}$

Угол между касательными $ \beta = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$ \beta = 30^\circ = \frac{30 \pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{6} \text{ рад} $

Найти:

Расстояние между точками касания $d$

Решение:

Пусть $O$ – центр окружности, $P$ – точка, из которой проведены касательные, а $A$ и $B$ – точки касания на окружности. Радиусы $OA$ и $OB$, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным $PA$ и $PB$ соответственно. Таким образом, $ \angle OAP = 90^\circ $ и $ \angle OBP = 90^\circ $.

Четырехугольник $OAPB$ имеет углы $ \angle OAP = 90^\circ $, $ \angle OBP = 90^\circ $ и $ \angle APB = 30^\circ $.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Найдем центральный угол $ \angle AOB $:

$ \angle AOB + \angle APB + \angle OAP + \angle OBP = 360^\circ $

$ \angle AOB + 30^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ $

$ \angle AOB + 210^\circ = 360^\circ $

$ \angle AOB = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ $

Расстояние между точками касания $d$ – это длина хорды $AB$. Треугольник $OAB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 8 \text{ см}$.

Опустим перпендикуляр $OM$ из центра $O$ на хорду $AB$. Этот перпендикуляр является высотой, медианой и биссектрисой угла $ \angle AOB $. Следовательно, $ \angle AOM = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$. В нем $OA = R = 8 \text{ см}$ (гипотенуза), а $AM$ – катет, который равен половине длины хорды $AB$.

Используем синус угла $ \angle AOM $:

$ \sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} $

$ AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) = R \cdot \sin(75^\circ) $

$ AM = 8 \cdot \sin(75^\circ) $

Значение $ \sin(75^\circ) \approx 0.9659258 $

$ AM \approx 8 \cdot 0.9659258 \approx 7.7274064 \text{ см} $

Длина хорды $d = AB = 2 \cdot AM$:

$ d = 2 \cdot 7.7274064 \approx 15.4548128 \text{ см} $

Округлим до 0,1 см:

$ d \approx 15.5 \text{ см} $

Ответ: $15.5 \text{ см}$