Номер 185, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

185. a) Верно ли для любого острого угла $\alpha$ равенство:

1) $\text{tg}^2\alpha - \text{sin}^2\alpha = \text{tg}^2\alpha \cdot \text{sin}^2\alpha$; 2) $\text{ctg}^2\alpha - \text{cos}^2\alpha = \text{ctg}^2\alpha \cdot \text{cos}^2\alpha$?

б) Докажите, что для любых острых углов $\alpha$ и $\beta$ прямоугольного треугольника верно равенство:

1) $\text{sin} \alpha \cdot \text{sin} \beta = \text{cos} \alpha \cdot \text{cos} \beta$; 2) $\text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta = 1$.

а) 1)

Дано:

Острый угол $\alpha$.

Найти:

Верно ли равенство $\text{tg}^2 \alpha - \text{sin}^2 \alpha = \text{tg}^2 \alpha \cdot \text{sin}^2 \alpha$.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства, используя тождество $\text{tg} \alpha = \frac{\text{sin} \alpha}{\text{cos} \alpha}$:

$ \text{tg}^2 \alpha - \text{sin}^2 \alpha = \frac{\text{sin}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} - \text{sin}^2 \alpha $

Вынесем $\text{sin}^2 \alpha$ за скобки:

$ = \text{sin}^2 \alpha \left( \frac{1}{\text{cos}^2 \alpha} - 1 \right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ = \text{sin}^2 \alpha \left( \frac{1 - \text{cos}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} \right) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 $, из которого следует $ 1 - \text{cos}^2 \alpha = \text{sin}^2 \alpha $:

$ = \text{sin}^2 \alpha \left( \frac{\text{sin}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} \right) $

Поскольку $ \frac{\text{sin}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha $:

$ = \text{sin}^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha $

Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

а) 2)

Дано:

Острый угол $\alpha$.

Найти:

Верно ли равенство $\text{ctg}^2 \alpha - \text{cos}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \cdot \text{cos}^2 \alpha$.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства, используя тождество $\text{ctg} \alpha = \frac{\text{cos} \alpha}{\text{sin} \alpha}$:

$ \text{ctg}^2 \alpha - \text{cos}^2 \alpha = \frac{\text{cos}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} - \text{cos}^2 \alpha $

Вынесем $\text{cos}^2 \alpha$ за скобки:

$ = \text{cos}^2 \alpha \left( \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha} - 1 \right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ = \text{cos}^2 \alpha \left( \frac{1 - \text{sin}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} \right) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 $, из которого следует $ 1 - \text{sin}^2 \alpha = \text{cos}^2 \alpha $:

$ = \text{cos}^2 \alpha \left( \frac{\text{cos}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} \right) $

Поскольку $ \frac{\text{cos}^2 \alpha}{\text{sin}^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha $:

$ = \text{cos}^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha $

Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

б) 1)

Дано:

Прямоугольный треугольник с острыми углами $\alpha$ и $\beta$.

Найти:

Доказать, что $\text{sin} \alpha \cdot \text{sin} \beta = \text{cos} \alpha \cdot \text{cos} \beta$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $ \alpha + \beta = 90^\circ $. Из этого следует, что $ \beta = 90^\circ - \alpha $.

Используем формулы приведения для дополнительных углов:

$ \text{sin} \beta = \text{sin}(90^\circ - \alpha) = \text{cos} \alpha $

$ \text{cos} \beta = \text{cos}(90^\circ - \alpha) = \text{sin} \alpha $

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

Левая часть: $ \text{sin} \alpha \cdot \text{sin} \beta = \text{sin} \alpha \cdot (\text{cos} \alpha) $

Правая часть доказываемого равенства:

Правая часть: $ \text{cos} \alpha \cdot \text{cos} \beta = \text{cos} \alpha \cdot (\text{sin} \alpha) $

Таким образом, левая часть $ (\text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \alpha) $ равна правой части $ (\text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \alpha) $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) 2)

Дано:

Прямоугольный треугольник с острыми углами $\alpha$ и $\beta$.

Найти:

Доказать, что $\text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta = 1$.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$, то есть $ \alpha + \beta = 90^\circ $.

Левая часть доказываемого равенства представляет собой формулу синуса суммы двух углов:

$ \text{sin}(\alpha + \beta) = \text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta $

Поскольку $ \alpha + \beta = 90^\circ $, подставим это значение в формулу:

$ \text{sin}(\alpha + \beta) = \text{sin}(90^\circ) $

Известно, что $ \text{sin}(90^\circ) = 1 $.

Следовательно, $ \text{sin} \alpha \cdot \text{cos} \beta + \text{cos} \alpha \cdot \text{sin} \beta = 1 $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.