Номер 192, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

192. Найдите углы ромба, диагонали которого равны $2\sqrt{3}$ дм и 2 дм.

Дано:

Ромб с диагоналями $d_1 = 2\sqrt{3}$ дм и $d_2 = 2$ дм.

Перевод в СИ:

$d_1 = 2\sqrt{3} \text{ дм} = 0.2\sqrt{3} \text{ м}$

$d_2 = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Углы ромба.

Решение:

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть диагонали ромба $AC = d_1$ и $BD = d_2$ пересекаются в точке $O$.

Тогда образуются четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них, например, $\Delta AOB$.

Длины половин диагоналей будут:

$AO = \frac{d_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм

$BO = \frac{d_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ дм

В прямоугольном треугольнике $\Delta AOB$ мы можем использовать тангенс для нахождения половины одного из углов ромба. Пусть $\angle OAB$ – это половина угла $A$ ромба.

$\tan(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BO}{AO}$

$\tan(\angle OAB) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Из таблицы значений тангенса известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то полный угол ромба $\angle A = 2 \times \angle OAB = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

Сумма соседних углов ромба (как и любого параллелограмма) равна $180^\circ$. Пусть $\angle B$ – соседний угол к $\angle A$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

У ромба противолежащие углы равны, поэтому углы ромба будут $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ:

Углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.