Номер 206, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

206. a) Две прямолинейные дороги пересекаются под углом $43^\circ$. На одной из них в $6,5$ км от развилки находится пункт, из которого проложен самый короткий путь до второй дороги. Найдите длину этого пути с точностью до $0,001$ км.

б) Из двух пунктов $A$ и $B$, находящихся на противоположных склонах холма, к вершине $C$ холма по его склонам $AC$ и $BC$ поднялись Батыр и Марк. Известно, что $\angle CAB=25^\circ$, $AC=2$ км, $BC=3$ км. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол подъема склона $BC$.

a)

Дано

Угол между дорогами: $\alpha = 43^\circ$

Расстояние от развилки до пункта: $L = 6.5$ км

Перевод в СИ:

Угол между дорогами: $\alpha = 43^\circ$

Расстояние от развилки до пункта: $L = 6500$ м

Найти:

Длина кратчайшего пути: $h$

Решение

Кратчайший путь от пункта на одной дороге до другой дороги представляет собой перпендикуляр, опущенный из этого пункта на вторую дорогу. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, где расстояние от развилки до пункта ($L$) является гипотенузой, а кратчайший путь ($h$) - катетом, противолежащим углу между дорогами ($\alpha$).

Для нахождения длины кратчайшего пути используем тригонометрическое соотношение синуса угла:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Отсюда выразим $h$:

$h = L \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$h = 6.5 \text{ км} \cdot \sin(43^\circ)$

Вычислим значение $\sin(43^\circ)$:

$\sin(43^\circ) \approx 0.68199836$

Теперь рассчитаем $h$:

$h \approx 6.5 \cdot 0.68199836 \approx 4.43298934$

Округлим результат до 0,001 км:

$h \approx 4.433$ км

Ответ: 4.433 км

б)

Дано

Угол $\angle CAB = 25^\circ$

Длина склона $AC = 2$ км

Длина склона $BC = 3$ км

Перевод в СИ:

Угол $\angle CAB = 25^\circ$

Длина склона $AC = 2000$ м

Длина склона $BC = 3000$ м

Найти:

Угол подъема склона $BC$ (то есть $\angle CBA$)

Решение

Для нахождения угла в треугольнике, зная две стороны и угол, противолежащий одной из них, можно использовать теорему синусов. Пусть искомый угол подъема склона BC будет $\angle CBA = \beta$.

По теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin(\angle CBA)} = \frac{BC}{\sin(\angle CAB)}$

Подставим известные значения:

$\frac{2}{\sin(\beta)} = \frac{3}{\sin(25^\circ)}$

Выразим $\sin(\beta)$:

$\sin(\beta) = \frac{2 \cdot \sin(25^\circ)}{3}$

Вычислим значение $\sin(25^\circ)$:

$\sin(25^\circ) \approx 0.42261826$

Теперь рассчитаем $\sin(\beta)$:

$\sin(\beta) \approx \frac{2 \cdot 0.42261826}{3} \approx \frac{0.84523652}{3} \approx 0.28174551$

Чтобы найти $\beta$, используем обратную функцию синуса (арксинус):

$\beta = \arcsin(0.28174551)$

$\beta \approx 16.3650^\circ$

Округлим результат до 1°:

$\beta \approx 16^\circ$

Ответ: 16°