Номер 211, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

211.

1A) Найдите значение выражения $\sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \text{tg } 45^\circ \cdot \text{ctg } 30^\circ$.

2A) Найдите $\cos \alpha$ и $\text{tg } \alpha$, если $\sin \alpha = 0,8$, где $\alpha$ – острый угол.

3B) Постройте острый угол, синус которого равен $0,8$.

4B) Сторона ромба равна $m$, а его тупой угол равен $120^\circ$. Найдите диагонали ромба.

5C) В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 13$ см, $BC = 12$ см. Найдите высоту $CH \triangle ABC$.

1A) Найдите значение выражения

Дано: выражение $\sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ$.

Найти: значение выражения.

Решение: Используем известные значения тригонометрических функций для стандартных углов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$

$\operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$

Подставляем эти значения в выражение:

$\sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$

2A) Найдите $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$, если $\sin \alpha = 0,8$, где $\alpha$ – острый угол.

Дано: $\sin \alpha = 0,8$, $\alpha$ – острый угол.

Найти: $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$.

Решение: Для нахождения $\cos \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - (0,8)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0,64$

$\cos^2 \alpha = 0,36$

Так как $\alpha$ – острый угол, то $\cos \alpha > 0$.

$\cos \alpha = \sqrt{0,36}$

$\cos \alpha = 0,6$

Теперь найдем $\operatorname{tg} \alpha$ по формуле $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{0,8}{0,6}$

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{6}$

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3}$

Ответ: $\cos \alpha = 0,6$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3}$

3B) Постройте острый угол, синус которого равен 0,8.

Решение: Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

$\sin \alpha = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Таким образом, нам нужно построить прямоугольный треугольник, у которого противолежащий катет равен 4 условным единицам, а гипотенуза равна 5 условным единицам.

Порядок построения:

1. Начертите прямой угол, обозначим его вершину C.

2. Отложите на одном из катетов (например, вертикальном) отрезок CB длиной 4 условные единицы.

3. Из точки B как из центра проведите дугу окружности радиусом 5 условных единиц.

4. Точка пересечения этой дуги со вторым катетом (горизонтальным) будет точкой A.

5. Соедините точки A и B. Полученный треугольник ABC будет прямоугольным, а угол BAC будет искомым острым углом $\alpha$.

Ответ: Построение описано выше.

4B) Сторона ромба равна $m$, а его тупой угол равен $120^\circ$. Найдите диагонали ромба.

Дано: Ромб со стороной $a = m$ и тупым углом $\beta = 120^\circ$.

Найти: Диагонали ромба $d_1$ и $d_2$.

Решение: В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$.

Острый угол ромба $\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Пусть диагонали ромба будут $d_1$ и $d_2$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и одной из диагоналей.

Две стороны ромба и диагональ, выходящая из острого угла ($60^\circ$), образуют равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ между равными сторонами. Такой треугольник является равносторонним.

Значит, длина диагонали, которая лежит напротив острого угла, равна стороне ромба.

$d_1 = m$.

Для нахождения второй диагонали можно использовать теорему косинусов. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и второй диагональю (напротив тупого угла).

$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

$d_2^2 = m^2 + m^2 - 2 \cdot m \cdot m \cdot (-\frac{1}{2})$

$d_2^2 = 2m^2 + m^2$

$d_2^2 = 3m^2$

$d_2 = \sqrt{3m^2} = m\sqrt{3}$

Ответ: Диагонали ромба равны $m$ и $m\sqrt{3}$.

5C) В $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AB = 13$ см, $BC = 12$ см. Найдите высоту $CH \triangle ABC$.

Дано:

$\triangle ABC$ – прямоугольный треугольник.

$\angle C = 90^\circ$

$AB = 13$ см

$BC = 12$ см

Перевод в СИ:

$AB = 0,13$ м

$BC = 0,12$ м

Найти: Высоту $CH$.

Решение: Сначала найдем длину катета $AC$ с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AC^2 + (12 \text{ см})^2 = (13 \text{ см})^2$

$AC^2 + 144 \text{ см}^2 = 169 \text{ см}^2$

$AC^2 = 169 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2$

$AC^2 = 25 \text{ см}^2$

$AC = \sqrt{25 \text{ см}^2} = 5 \text{ см}$

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 30 \text{ см}^2$

Также площадь треугольника может быть найдена как половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Приравниваем два выражения для площади:

$30 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} \cdot 13 \text{ см} \cdot CH$

$60 \text{ см}^2 = 13 \text{ см} \cdot CH$

$CH = \frac{60}{13} \text{ см}$

Ответ: Высота $CH = \frac{60}{13}$ см.