Номер 217, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

217. a) В прямоугольном $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 1 \text{ м}$, $\angle A = 30^\circ$.

Найдите площадь $S_{\triangle ABC}$.

б) Найдите площадь прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой, равной 10 см.

в) Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{5}{3}$, а другой катет равен 8 см.

г) Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 25 см, а площадь $84 \text{ см}^2$.

a)

Дано: прямоугольный треугольник $ABC$; $\angle C = 90^\circ$; гипотенуза $AB = 1$ м; $\angle A = 30^\circ$.

Перевод в СИ: все данные уже в системе СИ: $AB = 1$ м.

Найти: площадь $S_{\triangle ABC}$.

Решение: в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AC$ и $BC$ связаны с гипотенузой $AB$ и углом $A$ следующими тригонометрическими соотношениями:

$BC = AB \cdot \sin(\angle A)$

$AC = AB \cdot \cos(\angle A)$

подставим известные значения:

$BC = 1 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) = 1 \text{ м} \cdot \frac{1}{2} = 0.5$ м.

$AC = 1 \text{ м} \cdot \cos(30^\circ) = 1 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ м.

площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$.

тогда $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \text{ м}^2 = \frac{\sqrt{3}}{8}$ м$^2$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$ м$^2$.

б)

Дано: прямоугольный равнобедренный треугольник; гипотенуза $c = 10$ см.

Перевод в СИ: гипотенуза $c = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти: площадь $S$.

Решение: в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Пусть длина каждого катета равна $a$.

по теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = c^2$, что упрощается до $2a^2 = c^2$.

отсюда $a^2 = \frac{c^2}{2}$.

площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$.

для равнобедренного прямоугольного треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

подставим выражение для $a^2$: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2} = \frac{c^2}{4}$.

теперь подставим значение гипотенузы $c = 0.1$ м:

$S = \frac{(0.1 \text{ м})^2}{4} = \frac{0.01 \text{ м}^2}{4} = 0.0025$ м$^2$.

Ответ: $0.0025$ м$^2$.

в)

Дано: прямоугольный треугольник; отношение гипотенузы $c$ к одному из катетов (пусть $a$) равно $\frac{c}{a} = \frac{5}{3}$; другой катет $b = 8$ см.

Перевод в СИ: другой катет $b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти: площадь $S$.

Решение: из данного отношения $\frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ выразим гипотенузу $c$: $c = \frac{5}{3}a$.

по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

подставим известные значения $b = 0.08$ м и $c = \frac{5}{3}a$ в уравнение Пифагора:

$a^2 + (0.08 \text{ м})^2 = \left(\frac{5}{3}a\right)^2$

$a^2 + 0.0064 \text{ м}^2 = \frac{25}{9}a^2$.

перенесем $a^2$ в правую часть уравнения:

$0.0064 \text{ м}^2 = \frac{25}{9}a^2 - a^2$

$0.0064 \text{ м}^2 = \left(\frac{25}{9} - \frac{9}{9}\right)a^2$

$0.0064 \text{ м}^2 = \frac{16}{9}a^2$.

найдем $a^2$:

$a^2 = 0.0064 \text{ м}^2 \cdot \frac{9}{16} = (0.0064/16) \cdot 9 \text{ м}^2 = 0.0004 \cdot 9 \text{ м}^2 = 0.0036$ м$^2$.

теперь найдем значение катета $a$: $a = \sqrt{0.0036 \text{ м}^2} = 0.06$ м.

площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

подставим значения $a = 0.06$ м и $b = 0.08$ м:

$S = \frac{1}{2} \cdot 0.06 \text{ м} \cdot 0.08 \text{ м} = 0.03 \text{ м} \cdot 0.08 \text{ м} = 0.0024$ м$^2$.

Ответ: $0.0024$ м$^2$.

г)

Дано: прямоугольный треугольник; гипотенуза $c = 25$ см; площадь $S = 84$ см$^2$.

Перевод в СИ: гипотенуза $c = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$; площадь $S = 84 \text{ см}^2 = 0.0084 \text{ м}^2$.

Найти: периметр $P$.

Решение: пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

площадь прямоугольного треугольника равна $S = \frac{1}{2}ab$. Известно, что $S = 0.0084$ м$^2$.

тогда $ab = 2S = 2 \cdot 0.0084 \text{ м}^2 = 0.0168$ м$^2$.

по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Известно, что $c = 0.25$ м.

тогда $a^2 + b^2 = (0.25 \text{ м})^2 = 0.0625$ м$^2$.

периметр треугольника $P = a + b + c$. Для нахождения $P$ нам нужно найти сумму катетов $a+b$.

мы можем использовать алгебраическое тождество: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

подставим известные значения $a^2+b^2 = 0.0625$ м$^2$ и $2ab = 2 \cdot 0.0168 \text{ м}^2 = 0.0336$ м$^2$:

$(a+b)^2 = 0.0625 \text{ м}^2 + 0.0336 \text{ м}^2$

$(a+b)^2 = 0.0961 \text{ м}^2$.

теперь найдем $a+b$:

$a+b = \sqrt{0.0961 \text{ м}^2} = 0.31$ м.

наконец, вычислим периметр:

$P = (a+b) + c = 0.31 \text{ м} + 0.25 \text{ м} = 0.56$ м.

Ответ: $0.56$ м.