Номер 222, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

222.

а) В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 10$ см, $\sin A + \sin B = 1,4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

б) Дан прямоугольник $ABCD$, площадь которого равна $36$ см$^2$. Точки $M, N, P, K$ – середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Найдите площадь шестиугольника $AMNCPK$.

в) Внутри острого угла $A$, равного $60^\circ$, отмечена точка $C$, расстояния $CB$ и $CD$ от которой до сторон угла соответственно равны $1$ дм и $2$ дм. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$.

а)

Дано:

Треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$

$AB = c = 10$ см

$\sin A + \sin B = 1.4$

Перевод в СИ:

$c = 10$ см $= 0.1$ м

Найти:

$S_{ABC}$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $ ) катеты $a = BC$, $b = AC$, гипотенуза $c = AB$.

По определению синуса: $ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c} $ и $ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} $.

Дано $ \sin A + \sin B = 1.4 $.

Подставим выражения для синусов: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1.4 $.

$ \frac{a+b}{c} = 1.4 $.

$ a+b = 1.4c $.

Так как $ c = 10 $ см, то $ a+b = 1.4 \times 10 = 14 $ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $ a^2 + b^2 = c^2 $.

$ a^2 + b^2 = 10^2 = 100 $.

Возведем в квадрат сумму катетов: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Подставим известные значения: $ 14^2 = 100 + 2ab $.

$ 196 = 100 + 2ab $.

$ 2ab = 196 - 100 $.

$ 2ab = 96 $.

$ ab = 48 $.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $ S_{ABC} = \frac{1}{2}ab $.

$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 48 = 24 $ см$^2$.

Ответ: $24$ см$^2$.

б)

Дано:

Прямоугольник $ABCD$

$S_{ABCD} = 36$ см$^2$

Точки $M, N, P, K$ – середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

Найти:

$S_{AMNCPK}$

Решение:

Шестиугольник $AMNCPK$ образуется из прямоугольника $ABCD$ путем "отсечения" двух угловых треугольников: $ \triangle MBN $ и $ \triangle PDK $.

Пусть длина сторон прямоугольника будет $AB = CD = L$ и $AD = BC = W$.

Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = L \cdot W = 36$ см$^2$.

Так как $M, N, P, K$ – середины сторон:

$M$ – середина $AB$, значит $MB = \frac{L}{2}$.

$N$ – середина $BC$, значит $BN = \frac{W}{2}$.

$P$ – середина $CD$, значит $DP = \frac{L}{2}$.

$K$ – середина $DA$, значит $DK = \frac{W}{2}$.

Треугольник $MBN$ является прямоугольным с катетами $MB$ и $BN$.

Площадь $ S_{\triangle MBN} = \frac{1}{2} \times MB \times BN = \frac{1}{2} \times \frac{L}{2} \times \frac{W}{2} = \frac{LW}{8} $.

Треугольник $PDK$ является прямоугольным с катетами $DP$ и $DK$.

Площадь $ S_{\triangle PDK} = \frac{1}{2} \times DP \times DK = \frac{1}{2} \times \frac{L}{2} \times \frac{W}{2} = \frac{LW}{8} $.

Площадь шестиугольника $AMNCPK$ равна площади прямоугольника за вычетом площадей этих двух треугольников:

$ S_{AMNCPK} = S_{ABCD} - S_{\triangle MBN} - S_{\triangle PDK} $.

$ S_{AMNCPK} = LW - \frac{LW}{8} - \frac{LW}{8} = LW - \frac{2LW}{8} = LW - \frac{LW}{4} = \frac{3LW}{4} $.

Подставим $LW = 36$ см$^2$:

$ S_{AMNCPK} = \frac{3}{4} \times 36 = 3 \times 9 = 27 $ см$^2$.

Ответ: $27$ см$^2$.

в)

Дано:

Острый угол $A = 60^\circ$.

Точка $C$ внутри угла.

Расстояние от $C$ до одной стороны угла $CB = 1$ дм (где $B$ – основание перпендикуляра из $C$ на сторону $AB$).

Расстояние от $C$ до другой стороны угла $CD = 2$ дм (где $D$ – основание перпендикуляра из $C$ на сторону $AD$).

Следовательно, $ \angle ABC = 90^\circ $ и $ \angle ADC = 90^\circ $.

Перевод в СИ:

$CB = 1$ дм $= 0.1$ м

$CD = 2$ дм $= 0.2$ м

Найти:

$S_{ABCD}$

Решение:

Четырехугольник $ABCD$ можно разбить на два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $, имеющие общую гипотенузу $AC$.

В $ \triangle ABC $ ($ \angle B = 90^\circ $):

$ AC = \frac{CB}{\sin(\angle CAB)} = \frac{1}{\sin(\angle CAB)} $.

В $ \triangle ADC $ ($ \angle D = 90^\circ $):

$ AC = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{2}{\sin(\angle CAD)} $.

Пусть $ \angle CAB = x $. Тогда $ \angle CAD = \angle A - \angle CAB = 60^\circ - x $.

Приравниваем выражения для $AC$:

$ \frac{1}{\sin x} = \frac{2}{\sin(60^\circ - x)} $.

$ \sin(60^\circ - x) = 2\sin x $.

Используем формулу синуса разности: $ \sin(X-Y) = \sin X \cos Y - \cos X \sin Y $.

$ \sin 60^\circ \cos x - \cos 60^\circ \sin x = 2\sin x $.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 2\sin x $.

Умножим обе части на 2:

$ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 4\sin x $.

$ \sqrt{3} \cos x = 5\sin x $.

Разделим на $ \cos x $ (так как $ x $ - острый угол, $ \cos x \ne 0 $):

$ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{5} $.

Теперь найдем длины сторон $AB$ и $AD$.

В $ \triangle ABC $:

$ AB = \frac{CB}{\tan x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} = \frac{5}{\sqrt{3}} $ дм.

Площадь $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CB = \frac{1}{2} \times \frac{5}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{5}{2\sqrt{3}} $ дм$^2$.

В $ \triangle ADC $:

Сначала найдем $ \tan(\angle CAD) = \tan(60^\circ - x) $.

$ \tan(60^\circ - x) = \frac{\tan 60^\circ - \tan x}{1 + \tan 60^\circ \tan x} = \frac{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{5}}{1 + \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{5}} = \frac{\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}}{5}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ AD = \frac{CD}{\tan(\angle CAD)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} $ дм.

Площадь $ S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times CD = \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{2\sqrt{3}} $ дм$^2$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей треугольников:

$ S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{5}{2\sqrt{3}} + \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{13}{2\sqrt{3}} $ дм$^2$.

Рационализируем знаменатель:

$ S_{ABCD} = \frac{13}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{13\sqrt{3}}{6} $ дм$^2$.

Ответ: $ \frac{13\sqrt{3}}{6} $ дм$^2$.