Номер 225, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

225. Найдите площадь параллелограмма:

а) смежные стороны которого соответственно равны 5 дм и 6 дм, а острый угол равен $30^\circ$;

б) периметр которого равен 14 дм, а высоты 3 дм и 5,4 дм.

а) смежные стороны которого соответственно равны 5 дм и 6 дм, а острый угол равен 30°;

Дано:

cмежные стороны $a = 5$ дм, $b = 6$ дм;

острый угол $\alpha = 30^{\circ}$.

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м};$

$b = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м};$

$\alpha = 30^{\circ}.$

Найти:

Площадь параллелограмма $S_a$.

Решение:

Площадь параллелограмма, заданного двумя смежными сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними, вычисляется по формуле:

$S_a = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим значения из условия задачи:

$S_a = 5 \text{ дм} \cdot 6 \text{ дм} \cdot \sin(30^{\circ})$

Известно, что $\sin(30^{\circ}) = 0.5$.

$S_a = 30 \text{ дм}^2 \cdot 0.5$

$S_a = 15 \text{ дм}^2$

Ответ: $15$ дм$^2$.

б) периметр которого равен 14 дм, а высоты 3 дм и 5,4 дм.

Дано:

Периметр $P = 14$ дм;

Высоты $h_1 = 3$ дм, $h_2 = 5.4$ дм.

Перевод в СИ:

$P = 14 \text{ дм} = 1.4 \text{ м};$

$h_1 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м};$

$h_2 = 5.4 \text{ дм} = 0.54 \text{ м}.$

Найти:

Площадь параллелограмма $S_b$.

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - смежные стороны параллелограмма.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$.

Известно, что $P = 14$ дм. Значит,

$2(a+b) = 14$

$a+b = 7$ дм

Отсюда $b = 7 - a$.

Площадь параллелограмма также может быть выражена через сторону и соответствующую высоту: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Известно, что большей высоте соответствует меньшая сторона, а меньшей высоте - большая сторона. Следовательно, если $h_1 = 3$ дм (меньшая высота) и $h_2 = 5.4$ дм (большая высота), то $h_1$ соответствует большей стороне $a$, а $h_2$ соответствует меньшей стороне $b$.

Тогда площадь $S_b$ может быть записана как:

$S_b = a \cdot h_1 = b \cdot h_2$

$a \cdot 3 = b \cdot 5.4$

Подставим выражение для $b$ ($b = 7 - a$) в уравнение:

$3a = (7-a) \cdot 5.4$

$3a = 37.8 - 5.4a$

Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону:

$3a + 5.4a = 37.8$

$8.4a = 37.8$

Найдем значение $a$:

$a = \frac{37.8}{8.4}$

$a = 4.5$ дм

Теперь найдем сторону $b$:

$b = 7 - a = 7 - 4.5 = 2.5$ дм

Вычислим площадь параллелограмма, используя одну из пар сторона-высота. Например, $S_b = a \cdot h_1$:

$S_b = 4.5 \text{ дм} \cdot 3 \text{ дм}$

$S_b = 13.5$ дм$^2$

Для проверки, используем вторую пару: $S_b = b \cdot h_2$:

$S_b = 2.5 \text{ дм} \cdot 5.4 \text{ дм}$

$S_b = 13.5$ дм$^2$

Результаты совпадают.

Ответ: $13.5$ дм$^2$.