Номер 227, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

227. Вычислите площадь ромба, зная его периметр $P$ и острый угол $\alpha$, если:

а) $P = 20$ см, $\alpha = 30^{\circ}$;

б) $P = 48$ см, $\alpha = 60^{\circ}$.

а) P = 20 см, α = 30°

Дано:
$P = 20 \text{ см}$
$\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:
$P = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:
$S$

Решение:

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть $a$ - длина стороны ромба. Периметр ромба $P$ равен сумме длин всех его сторон, то есть $P = 4a$.

Известен периметр $P = 20 \text{ см}$. Найдем длину стороны $a$:

$a = \frac{P}{4}$
$a = \frac{20 \text{ см}}{4}$
$a = 5 \text{ см}$

Площадь ромба $S$ можно найти по формуле $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ - длина стороны, а $\alpha$ - острый угол между сторонами.

Подставим значения $a = 5 \text{ см}$ и $\alpha = 30^\circ$ в формулу площади:

$S = (5 \text{ см})^2 \sin 30^\circ$
$S = 25 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}$
$S = 12.5 \text{ см}^2$

Ответ: $12.5 \text{ см}^2$

б) P = 48 см, α = 60°

Дано:
$P = 48 \text{ см}$
$\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:
$P = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$
$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:
$S$

Решение:

Снова найдем длину стороны ромба $a$ по его периметру $P = 48 \text{ см}$:

$a = \frac{P}{4}$
$a = \frac{48 \text{ см}}{4}$
$a = 12 \text{ см}$

Теперь найдем площадь ромба, используя формулу $S = a^2 \sin \alpha$, со стороной $a = 12 \text{ см}$ и острым углом $\alpha = 60^\circ$:

$S = (12 \text{ см})^2 \sin 60^\circ$
$S = 144 \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 72\sqrt{3} \text{ см}^2$

Для числового значения $\sqrt{3} \approx 1.73205$:
$S \approx 72 \cdot 1.73205 \text{ см}^2$
$S \approx 124.7076 \text{ см}^2 \approx 124.71 \text{ см}^2$ (округлено до двух знаков после запятой)

Ответ: $72\sqrt{3} \text{ см}^2$ или примерно $124.71 \text{ см}^2$