Номер 231, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

231. a) Периметр равнобедренного треугольника равен 50 м. Боковая сторона треугольника на 1 м больше основания. Найдите площадь треугольника.

б) Найдите отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного его средними линиями.

а) Найдите площадь треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник
• Периметр $P = 50$ м
• Боковая сторона $b$ на 1 м больше основания $a$

Найти:

• Площадь треугольника $S$

Решение:

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $a$ (м), а боковые стороны равны $b$ (м). Так как треугольник равнобедренный, у него две равные боковые стороны.

По условию, боковая сторона на 1 м больше основания, то есть:

$b = a + 1$

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + 2b$

Подставим известное значение периметра и выражение для $b$ в уравнение периметра:

$50 = a + 2(a + 1)$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$50 = a + 2a + 2$

$50 = 3a + 2$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$50 - 2 = 3a$

$48 = 3a$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $a$:

$a = \frac{48}{3}$

$a = 16$ м

Теперь найдем длину боковой стороны $b$:

$b = a + 1 = 16 + 1 = 17$ м

Итак, стороны треугольника равны 16 м, 17 м, 17 м.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Нам нужно найти высоту $h$, проведенную к основанию $a$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит основание пополам и образует два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты - это высота $h$ и половина основания $\frac{a}{2}$, а гипотенуза - это боковая сторона $b$.

Половина основания: $\frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8$ м.

Применим теорему Пифагора: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$

$h^2 + 8^2 = 17^2$

$h^2 + 64 = 289$

Вычтем 64 из обеих частей:

$h^2 = 289 - 64$

$h^2 = 225$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$:

$h = \sqrt{225}$

$h = 15$ м

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15$

$S = 8 \cdot 15$

$S = 120$ м$^2$

Ответ: 120 м$^2$.

б) Найдите отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного его средними линиями.

Дано:

• Данный треугольник с площадью $S_1$
• Треугольник, образованный его средними линиями, с площадью $S_2$

Найти:

• Отношение $\frac{S_1}{S_2}$

Решение:

Средние линии треугольника соединяют середины его сторон. Известно, что треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному треугольнику.

Каждая средняя линия треугольника параллельна соответствующей стороне и равна ее половине. Следовательно, стороны треугольника, образованного средними линиями, в два раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника.

Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия ($k$). Коэффициент подобия $k$ между медианным треугольником и исходным треугольником равен $\frac{1}{2}$ (стороны медианного треугольника в 2 раза меньше).

Следовательно, отношение площадей будет:

$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{4}$

Мы ищем отношение площади данного треугольника к площади треугольника, образованного его средними линиями, то есть $\frac{S_1}{S_2}$.

Из полученного равенства $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{4}$ следует, что $S_1 = 4S_2$.

Таким образом, отношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4S_2}{S_2} = 4$.

Также можно рассуждать следующим образом: средние линии делят исходный треугольник на четыре меньших треугольника. Все эти четыре треугольника равны по площади (конгруэнтны). Один из этих четырех треугольников и есть треугольник, образованный средними линиями. Следовательно, его площадь составляет $\frac{1}{4}$ от площади исходного треугольника.

Значит, $S_2 = \frac{1}{4}S_1$, или $S_1 = 4S_2$.

Отношение $\frac{S_1}{S_2} = 4$.

Ответ: 4.