Номер 237, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

237. Найдите площадь параллелограмма, периметр которого равен $P$, а точка пересечения диагоналей находится на расстоянии $d$ от каждой его стороны.

Дано:

Периметр параллелограмма $P$.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до каждой стороны $d$.

Перевод в СИ:

Величины $P$ и $d$ являются буквенными параметрами, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Предполагается, что $P$ измеряется в единицах длины (например, в метрах), а $d$ — в единицах длины (например, в метрах).

Найти:

Площадь параллелограмма $S$.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$.

Периметр параллелограмма задается формулой: $$P = 2(a+b)$$

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Это означает, что эта точка находится на равном расстоянии от каждой пары противоположных сторон.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до каждой из сторон параллелограмма равно $d$. Это означает, что высоты параллелограмма, проведенные к каждой из сторон, равны удвоенному этому расстоянию.

Пусть $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, и $h_b$ — высота, проведенная к стороне $b$.

Согласно условию задачи, расстояние от центра до стороны $a$ равно $d$, следовательно, высота $h_a = 2d$.

Аналогично, расстояние от центра до стороны $b$ равно $d$, следовательно, высота $h_b = 2d$.

Площадь параллелограмма может быть выражена как произведение стороны на соответствующую высоту: $$S = a \cdot h_a$$ или $$S = b \cdot h_b$$

Подставим значения высот: $$S = a \cdot (2d)$$ и $$S = b \cdot (2d)$$

Поскольку площадь параллелограмма одна и та же, мы можем приравнять эти выражения: $$a \cdot (2d) = b \cdot (2d)$$

Так как $d$ по условию является расстоянием (а значит, $d \neq 0$), мы можем разделить обе части на $2d$: $$a = b$$

Это означает, что данный параллелограмм является ромбом, так как все его стороны равны.

Подставим $a = b$ в формулу для периметра ромба: $$P = 2(a+a)$$ $$P = 2(2a)$$ $$P = 4a$$

Выразим сторону $a$ через периметр $P$: $$a = \frac{P}{4}$$

Теперь подставим значение стороны $a$ и высоты $h_a$ (которая равна $2d$) в формулу для площади ромба: $$S = a \cdot h_a$$ $$S = \left(\frac{P}{4}\right) \cdot (2d)$$ $$S = \frac{2Pd}{4}$$ $$S = \frac{Pd}{2}$$

Ответ:

Площадь параллелограмма $S = \frac{Pd}{2}$.