Номер 230, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

230. a) Дан треугольник $\triangle ABC$. Постройте прямую $BM$, делящую его на два треугольника, площади которых относятся как $2 : 3$.

б) Дан треугольник $\triangle ABC$, площадь которого равна $72 \text{ см}^2$. На его медиане $BM$ отмечена точка $D$ так, что $BD : DM = 1 : 2$. Докажите, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равновелики и найдите их площадь.

в) Дан $\triangle ABC$, площадь которого равна $24 \text{ дм}^2$. Найдите площадь $\triangle MNK$, если $MN$ – средняя линия $\triangle ABC$, $MN \parallel AC$, $K \in AC$ и $AK : KC = 3 : 2$.

а)

Для построения прямой $BM$, делящей треугольник $ABC$ на два треугольника $ABM$ и $CBM$, площади которых относятся как $2:3$, необходимо, чтобы точка $M$ на стороне $AC$ делила эту сторону в том же соотношении.

Это связано с тем, что площади треугольников, имеющих общую высоту (в данном случае, высота из вершины $B$ на сторону $AC$), относятся как длины их оснований. Таким образом, $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{AM}{MC}$.

Нам дано $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{2}{3}$, следовательно, $\frac{AM}{MC} = \frac{2}{3}$.

Построение:

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$.
2. На стороне $AC$ необходимо отметить точку $M$ так, чтобы $AM : MC = 2 : 3$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, разделив отрезок $AC$ на $2+3=5$ равных частей.
3. Для этого проведите луч из точки $A$, не совпадающий с $AC$.
4. Отложите на этом луче 5 равных отрезков, например $AA_1, A_1A_2, \dots, A_4A_5$.
5. Соедините точку $A_5$ с точкой $C$.
6. Проведите прямую через точку $A_2$ параллельно $A_5C$. Точка пересечения этой прямой со стороной $AC$ будет искомой точкой $M$.
7. Проведите прямую $BM$. Эта прямая делит треугольник $ABC$ на два треугольника, площади которых относятся как $2:3$.

Ответ: Прямая $BM$ должна делить сторону $AC$ в отношении $AM : MC = 2 : 3$.

б)

Дано:

$\triangle ABC$

$S_{ABC} = 72 \text{ см}^2$

$BM$ - медиана

$D \in BM$

$BD : DM = 1 : 2$

Перевод в СИ:

$S_{ABC} = 72 \text{ см}^2 = 72 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 72 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Доказать, что $S_{ABD} = S_{CBD}$

Найти $S_{ABD}$ и $S_{CBD}$

Решение:

1. Поскольку $BM$ является медианой треугольника $ABC$, она делит его на два треугольника с равными площадями. Точка $M$ является серединой стороны $AC$.

Таким образом, $S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

$S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot 72 \text{ см}^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AD$ делит его на два треугольника $ABD$ и $ADM$. Эти два треугольника имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $BM$. Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $BD$ и $DM$.

Дано, что $BD : DM = 1 : 2$. Это означает, что $BD = \frac{1}{3} BM$ и $DM = \frac{2}{3} BM$.

Тогда $S_{ABD} = \frac{BD}{BM} S_{ABM} = \frac{1}{1+2} S_{ABM} = \frac{1}{3} S_{ABM}$.

$S_{ABD} = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

3. Аналогично, рассмотрим треугольник $CBM$. Отрезок $CD$ делит его на два треугольника $CBD$ и $CDM$. Эти два треугольника имеют общую высоту, опущенную из вершины $C$ на прямую $BM$. Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $BD$ и $DM$.

Поскольку $BD : DM = 1 : 2$, то $S_{CBD} = \frac{BD}{BM} S_{CBM} = \frac{1}{1+2} S_{CBM} = \frac{1}{3} S_{CBM}$.

$S_{CBD} = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $S_{ABD} = 12 \text{ см}^2$ и $S_{CBD} = 12 \text{ см}^2$. Таким образом, $S_{ABD} = S_{CBD}$, что доказывает, что треугольники $ABD$ и $CBD$ равновелики.

Ответ: Треугольники $ABD$ и $CBD$ равновелики, их площади равны $12 \text{ см}^2$.

в)

Дано:

$\triangle ABC$

$S_{ABC} = 24 \text{ дм}^2$

$MN$ - средняя линия $\triangle ABC$ ($M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$)

$MN \parallel AC$

$K \in AC$

$AK : KC = 3 : 2$

Перевод в СИ:

$S_{ABC} = 24 \text{ дм}^2 = 24 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 24 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

Найти:

$S_{MNK}$

Решение:

1. По свойству средней линии треугольника, $MN$ параллельна стороне $AC$ и равна половине её длины: $MN = \frac{1}{2} AC$.

2. Треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}$.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BMN}}{S_{BAC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

4. Площадь треугольника $BMN$ равна:

$S_{BMN} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 24 \text{ дм}^2 = 6 \text{ дм}^2$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $MNK$. Его основанием является отрезок $MN$. Вершина $K$ лежит на прямой $AC$. Поскольку $MN \parallel AC$, высота треугольника $MNK$, опущенная из вершины $K$ на основание $MN$, равна расстоянию между параллельными прямыми $MN$ и $AC$.

6. Пусть $h_{ABC}$ - высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Тогда $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_{ABC}$.

7. Поскольку $MN$ - средняя линия, то треугольник $BMN$ имеет высоту, опущенную из $B$ на $MN$, равную $\frac{1}{2} h_{ABC}$. Следовательно, расстояние между $MN$ и $AC$ (которое является высотой треугольника $MNK$ относительно основания $MN$) равно $h_{MNK} = h_{ABC} - \frac{1}{2} h_{ABC} = \frac{1}{2} h_{ABC}$.

8. Площадь треугольника $MNK$ вычисляется по формуле:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h_{MNK}$.

Подставим значения $MN = \frac{1}{2} AC$ и $h_{MNK} = \frac{1}{2} h_{ABC}$:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} AC\right) \cdot \left(\frac{1}{2} h_{ABC}\right) = \frac{1}{8} AC \cdot h_{ABC}$.

9. Из пункта 6 знаем, что $AC \cdot h_{ABC} = 2 S_{ABC}$. Подставим это выражение:

$S_{MNK} = \frac{1}{8} \cdot (2 S_{ABC}) = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

10. Теперь подставим известное значение $S_{ABC}$:

$S_{MNK} = \frac{1}{4} \cdot 24 \text{ дм}^2 = 6 \text{ дм}^2$.

Обратите внимание, что отношение $AK : KC = 3 : 2$ не влияет на площадь треугольника $MNK$, так как его вершина $K$ находится на линии, параллельной основанию $MN$, и расстояние между этими линиями постоянно.

Ответ: $S_{MNK} = 6 \text{ дм}^2$.