Номер 228, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

228. a) Докажите, что площадь ромба равна квадрату длины стороны, умноженному на синус его любого угла.

б) Какой вид должен иметь ромб со стороной $a$, чтобы его площадь была наибольшей. Ответ объясните.

a) Докажите, что площадь ромба равна квадрату длины стороны, умноженному на синус его любого угла.

Дано:
Ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$.

Найти:
Доказать, что площадь ромба $S = a^2 \sin \alpha$.

Решение:
Ромб является частным случаем параллелограмма, у которого все стороны равны. Пусть сторона ромба равна $a$, а один из его углов равен $\alpha$.
Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = \text{сторона}_1 \cdot \text{сторона}_2 \cdot \sin(\text{угол между ними})$.
Для ромба обе стороны, образующие угол $\alpha$, равны $a$.
Следовательно, площадь ромба $S$ будет равна:
$S = a \cdot a \cdot \sin \alpha$
$S = a^2 \sin \alpha$
Эта формула справедлива для любого угла ромба, так как синусы смежных углов равны ($\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$), а противоположные углы ромба равны.

Ответ: Доказано, что площадь ромба $S = a^2 \sin \alpha$.

б) Какой вид должен иметь ромб со стороной $a$, чтобы его площадь была наибольшей. Ответ объясните.

Дано:
Ромб со стороной $a$.

Найти:
Вид ромба, при котором его площадь $S$ максимальна.

Решение:
Из пункта а) известно, что площадь ромба $S$ со стороной $a$ и углом $\alpha$ между сторонами выражается формулой:
$S = a^2 \sin \alpha$
Поскольку длина стороны $a$ является фиксированной величиной, для того чтобы площадь $S$ была наибольшей, необходимо, чтобы значение $\sin \alpha$ было максимальным.
Максимальное значение функции синуса равно $1$.
Это значение достигается, когда угол $\alpha$ равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).
Если один из углов ромба равен $90^\circ$, то, поскольку сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$, все его углы должны быть равны $90^\circ$.
Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом.

Ответ: Ромб должен быть квадратом, так как при угле $90^\circ$ синус угла достигает своего максимального значения, равного 1, что обеспечивает наибольшую возможную площадь при заданной длине стороны $a$.