Номер 224, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

224. a) Найдите площадь равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$, если:
1) $AB = 10$ м, высота $BH$ равна $8$ м;
2) $BC = 15$ см, $AC = 18$ см.

б) Найдите площадь равностороннего треугольника:
1) сторона которого равна $a$;
2) высота которого равна $h$;
3) если радиус окружности, описанной около него, равен $R$;
4) если радиус окружности, вписанной в него, равен $r$.

а) Найдите площадь равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, если:

1) AB = 10 м, высота BH равна 8 м;

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Основание $AC$.

Боковая сторона $AB = 10 \text{ м}$.

Высота $BH = 8 \text{ м}$ (к основанию $AC$).

Перевод в СИ: Все величины уже в СИ.

$AB = 10 \text{ м}$

$BH = 8 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S_{ABC}$.

Решение:

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, также является медианой. Следовательно, $AH = HC = AC/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

Так как $BC = AB = 10 \text{ м}$ (боковые стороны равнобедренного треугольника), то

$10^2 = 8^2 + HC^2$

$100 = 64 + HC^2$

$HC^2 = 100 - 64$

$HC^2 = 36$

$HC = \sqrt{36} = 6 \text{ м}$

Тогда основание $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 6 = 12 \text{ м}$.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ м} \cdot 8 \text{ м}$

$S_{ABC} = 6 \cdot 8 = 48 \text{ м}^2$

Ответ:

$S_{ABC} = 48 \text{ м}^2$

2) BC = 15 см, AC = 18 см.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Основание $AC = 18 \text{ см}$.

Боковая сторона $BC = 15 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$AC = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

$BC = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S_{ABC}$.

Решение:

Для нахождения площади используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Нам нужно найти высоту $BH$, проведенную к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, является также медианой. Следовательно, $AH = HC = AC/2$.

$HC = \frac{18 \text{ см}}{2} = 9 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$15^2 = BH^2 + 9^2$

$225 = BH^2 + 81$

$BH^2 = 225 - 81$

$BH^2 = 144$

$BH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Теперь вычисляем площадь:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}$

$S_{ABC} = 9 \cdot 12 = 108 \text{ см}^2$

Ответ:

$S_{ABC} = 108 \text{ см}^2$

б) Найдите площадь равностороннего треугольника:

1) сторона которого равна a;

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$.

Перевод в СИ: Не требуется, $a$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Ответ:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2) высота которого равна h;

Дано:

Равносторонний треугольник с высотой $h$.

Перевод в СИ: Не требуется, $h$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

В равностороннем треугольнике высота $h$ выражается через сторону $a$ как $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.

Из этого соотношения выразим сторону $a$ через высоту $h$:

$a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$:

$S = \frac{\left(\frac{2h}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{\frac{4h^2}{3} \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{4h^2 \sqrt{3}}{12}$

$S = \frac{h^2 \sqrt{3}}{3}$

Ответ:

$S = \frac{h^2 \sqrt{3}}{3}$

3) если радиус окружности, описанной около него, равен R;

Дано:

Равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности $R$.

Перевод в СИ: Не требуется, $R$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для равностороннего треугольника существует связь между стороной $a$ и радиусом описанной окружности $R$:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этого соотношения выразим сторону $a$ через $R$:

$a = R \sqrt{3}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$:

$S = \frac{(R \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{R^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{3 \sqrt{3} R^2}{4}$

Ответ:

$S = \frac{3 \sqrt{3} R^2}{4}$

4) если радиус окружности, вписанной в него, равен r.

Дано:

Равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности $r$.

Перевод в СИ: Не требуется, $r$ - это переменная.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для равностороннего треугольника существует связь между стороной $a$ и радиусом вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$

Из этого соотношения выразим сторону $a$ через $r$:

$a = 2r \sqrt{3}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади равностороннего треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$:

$S = \frac{(2r \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{4r^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4}$

$S = \frac{12r^2 \sqrt{3}}{4}$

$S = 3 \sqrt{3} r^2$

Ответ:

$S = 3 \sqrt{3} r^2$