Номер 220, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

220. а) Земельный участок имеет форму прямоугольника. Он отмечен на карте с масштабом 1:1 000. Во сколько раз площадь этого участка на местности больше, чем на плане?

б) Участок земли изображен на плане прямоугольным треугольником с катетами 3 см и 4 см. Найдите площадь этого участка на местности, если масштаб 1:100 000.

в) Одним из самых больших озер Земли является Балхаш, площадь которого составляет 40 % от общей площади всех озер Казахстана, равной $45000 \text{ км}^2$. Найдите площадь озера Балхаш.

а) Земельный участок имеет форму прямоугольника. Он отмечен на карте с масштабом 1:1 000. Во сколько раз площадь этого участка на местности больше, чем на плане?

Дано:

Масштаб карты ($M$) = $1:1000$

Найти:

Отношение площади на местности к площади на плане ($S_{местность} / S_{план}$).

Решение:

Масштаб карты $M = 1:K$ означает, что любой линейный размер на местности в $K$ раз больше соответствующего линейного размера на плане. То есть, $L_{местность} = K \cdot L_{план}$.

Площадь представляет собой произведение двух линейных размеров. Если на плане участок имеет размеры $l_1$ и $l_2$, то его площадь на плане $S_{план} = l_1 \cdot l_2$.

На местности соответствующие размеры будут $K \cdot l_1$ и $K \cdot l_2$.

Тогда площадь участка на местности $S_{местность} = (K \cdot l_1) \cdot (K \cdot l_2) = K^2 \cdot (l_1 \cdot l_2) = K^2 \cdot S_{план}$.

Из этого следует, что отношение площадей равно $S_{местность} / S_{план} = K^2$.

В данном случае $K = 1000$.

Тогда $K^2 = (1000)^2 = 1~000~000$.

Ответ: в 1 000 000 раз.

б) Участок земли изображен на плане прямоугольным треугольником с катетами 3 см и 4 см. Найдите площадь этого участка на местности, если масштаб 1:100 000.

Дано:

Форма на плане: прямоугольный треугольник.

Катет 1 на плане ($a_{план}$) = 3 см

Катет 2 на плане ($b_{план}$) = 4 см

Масштаб ($M$) = 1:100 000

Перевод в СИ:

В данном случае, перевод в СИ для промежуточных вычислений не обязателен, так как мы можем сначала найти площадь на плане в см$^2$, а затем перевести площадь на местности в более удобные единицы (м$^2$ или км$^2$). Коэффициент масштаба $K$ безразмерен.

$a_{план} = 3 \text{ см}$

$b_{план} = 4 \text{ см}$

$K = 100~000$

Найти:

Площадь участка на местности ($S_{местность}$).

Решение:

1. Найдем площадь участка на плане ($S_{план}$).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет1} \cdot \text{катет2}$.

$S_{план} = \frac{1}{2} \cdot a_{план} \cdot b_{план} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь участка на местности ($S_{местность}$).

Как было показано в части а), площадь на местности связана с площадью на плане соотношением $S_{местность} = K^2 \cdot S_{план}$, где $K$ - знаменатель масштаба.

В данном случае $K = 100~000$.

$S_{местность} = (100~000)^2 \cdot 6 \text{ см}^2 = 10~000~000~000 \cdot 6 \text{ см}^2 = 60~000~000~000 \text{ см}^2$.

Переведем площадь из квадратных сантиметров в более крупные единицы (например, квадратные километры).

Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, поэтому $1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10~000 \text{ см}^2$.

$S_{местность} = 60~000~000~000 \text{ см}^2 \cdot \frac{1 \text{ м}^2}{10~000 \text{ см}^2} = 6~000~000 \text{ м}^2$.

Также мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, поэтому $1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1~000~000 \text{ м}^2$.

$S_{местность} = 6~000~000 \text{ м}^2 \cdot \frac{1 \text{ км}^2}{1~000~000 \text{ м}^2} = 6 \text{ км}^2$.

Ответ: 6 км$^2$.

в) Одним из самых больших озер Земли является Балхаш, площадь которого составляет 40 % от общей площади всех озер Казахстана, равной 45000 км$^2$. Найдите площадь озера Балхаш.

Дано:

Общая площадь всех озер Казахстана ($S_{общ}$) = 45000 км$^2$.

Процентное соотношение площади озера Балхаш к общей площади озер Казахстана ($P_{Балхаш}$) = 40%.

Перевод в СИ:

$S_{общ} = 45000 \text{ км}^2 = 45000 \cdot (10^3 \text{ м})^2 = 45000 \cdot 10^6 \text{ м}^2 = 4.5 \cdot 10^{10} \text{ м}^2$.

$P_{Балхаш} = 40\% = 0.40$

Найти:

Площадь озера Балхаш ($S_{Балхаш}$).

Решение:

Чтобы найти площадь озера Балхаш, необходимо вычислить 40% от общей площади всех озер Казахстана.

$S_{Балхаш} = P_{Балхаш} \cdot S_{общ}$

$S_{Балхаш} = 0.40 \cdot 45000 \text{ км}^2$

$S_{Балхаш} = 18000 \text{ км}^2$.

Ответ: 18000 км$^2$.