Номер 221, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

221. а) В Казахстане самая большая по площади (428 тыс. кв. км) Карагандинская область, а самая малая (98 тыс. кв. км) – Северо-Казахстанская. На сколько процентов площадь Карагандинской области больше, чем площадь Северо-Казахстанской? Ответ дайте с точностью до 1 %.

б) На сколько процентов изменится площадь прямоугольного $\Delta ACB$ с катетами $AC = 4\frac{2}{3}$ дм, $BC = 3,5$ дм, если катет $AC$ увеличить на 20 %, а катет $BC$ уменьшить на 20 %?

а)

Дано

Площадь Карагандинской области ($S_{КО}$) = 428 тыс. кв. км
Площадь Северо-Казахстанской области ($S_{СКО}$) = 98 тыс. кв. км

Перевод в СИ

Единицы измерения площадей даны в тысячах квадратных километров, что является согласованной системой для данной задачи. Перевод в квадратные метры (СИ) не требуется, так как в расчетах будут использоваться отношения площадей, и единицы измерения сократятся.

Найти

На сколько процентов площадь Карагандинской области больше, чем площадь Северо-Казахстанской ($P$).

Решение

Чтобы найти, на сколько процентов одна величина больше другой, нужно найти разность этих величин и разделить ее на ту величину, с которой сравниваем (в данном случае, площадь Северо-Казахстанской области), а затем умножить на 100%.
1. Найдем разницу площадей:
$\Delta S = S_{КО} - S_{СКО} = 428 - 98 = 330$ тыс. кв. км
2. Вычислим процентное соотношение:
$P = \frac{\Delta S}{S_{СКО}} \times 100\%$
$P = \frac{330}{98} \times 100\%$
$P \approx 3.3673469 \times 100\%$
$P \approx 336.73469\%$
3. Округлим результат с точностью до 1% (до целых процентов):
$P \approx 337\%$

Ответ: 337%

б)

Дано

Прямоугольный треугольник $\Delta ACB$.
Исходная длина катета $AC = 4\frac{2}{3}$ дм.
Исходная длина катета $BC = 3.5$ дм.
Катет $AC$ увеличили на 20%.
Катет $BC$ уменьшили на 20%.

Перевод в СИ

Единицы измерения длин катетов даны в дециметрах. Для вычисления процентного изменения площади перевод в метры (СИ) не требуется, так как в расчетах будут использоваться отношения площадей, и единицы измерения сократятся.

Найти

На сколько процентов изменится площадь треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \times a \times b$, где $a$ и $b$ - длины катетов.
1. Переведем исходные длины катетов в десятичные или обыкновенные дроби:
$AC = 4\frac{2}{3} = \frac{4 \times 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$ дм
$BC = 3.5 = \frac{7}{2}$ дм
2. Вычислим исходную площадь треугольника ($S_{исх}$):
$S_{исх} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times \frac{14}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{14 \times 7}{2 \times 3 \times 2} = \frac{98}{12} = \frac{49}{6}$ кв. дм
3. Найдем новые длины катетов:
Катет $AC$ увеличился на 20%, т.е. стал $100\% + 20\% = 120\%$ от исходной длины, или в $1.2$ раза.
$AC_{новый} = AC \times 1.2 = \frac{14}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{14 \times 2}{5} = \frac{28}{5}$ дм
Катет $BC$ уменьшился на 20%, т.е. стал $100\% - 20\% = 80\%$ от исходной длины, или в $0.8$ раза.
$BC_{новый} = BC \times 0.8 = \frac{7}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{7 \times 2}{5} = \frac{14}{5}$ дм
4. Вычислим новую площадь треугольника ($S_{новый}$):
$S_{новый} = \frac{1}{2} \times AC_{новый} \times BC_{новый} = \frac{1}{2} \times \frac{28}{5} \times \frac{14}{5} = \frac{28 \times 14}{2 \times 5 \times 5} = \frac{392}{50} = \frac{196}{25}$ кв. дм
5. Вычислим процентное изменение площади. Изменение площади рассчитывается как $\frac{S_{новый} - S_{исх}}{S_{исх}} \times 100\%$:
Изменение $=\frac{\frac{196}{25} - \frac{49}{6}}{\frac{49}{6}} \times 100\%$
Найдем разность в числителе:
$\frac{196}{25} - \frac{49}{6} = \frac{196 \times 6 - 49 \times 25}{25 \times 6} = \frac{1176 - 1225}{150} = \frac{-49}{150}$
Теперь подставим это в формулу изменения:
Изменение $= \frac{\frac{-49}{150}}{\frac{49}{6}} \times 100\% = \frac{-49}{150} \times \frac{6}{49} \times 100\%$
Изменение $= -\frac{6}{150} \times 100\% = -\frac{1}{25} \times 100\% = -4\%$
Отрицательное значение указывает на уменьшение площади.

Ответ: Площадь уменьшится на 4%.