Номер 226, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

226. Найдите площадь параллелограмма, используя данные на рисунке 111, а, б.

a)

$AB = 8$

$AD = 10$

$\angle A = 60^\circ$

б)

$NH = 8$

$\angle L = 60^\circ$

Рисунок 111

а)

Дано:

параллелограмм $abcd$.

сторона $ad = 10$ (единиц длины).

сторона $ab = 8$ (единиц длины).

угол $a = 60^\circ$.

Найти:

площадь параллелограмма $s_{abcd}$.

Решение:

площадь параллелограмма можно найти по формуле $s = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ - длины смежных сторон, а $\alpha$ - угол между ними.

в данном случае, $a = ad = 10$, $b = ab = 8$, $\alpha = \angle a = 60^\circ$.

значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$s_{abcd} = 10 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ)$

$s_{abcd} = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$s_{abcd} = 40\sqrt{3}$

Ответ:

$40\sqrt{3}$

б)

Дано:

параллелограмм $mnkl$ (согласно расположению вершин на рисунке).

высота $nh = 8$ (единиц длины), проведенная к стороне $ml$ (которая лежит на прямой $me$).

угол $\angle l = 60^\circ$ (угол $\angle klm$).

стороны $nm$ и $nk$ равны (обозначено одинаковыми штрихами), что означает, что это ромб.

Найти:

площадь параллелограмма $s_{mnkl}$.

Решение:

рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle nhl$, где $nh$ - катет, а $nl$ - гипотенуза (сторона параллелограмма $nk$ или $kl$).

из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике: $\sin(\angle l) = \frac{nh}{nl}$.

отсюда, $nl = \frac{nh}{\sin(\angle l)}$.

подставим известные значения: $nl = \frac{8}{\sin(60^\circ)}$.

так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$nl = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

поскольку $mnkl$ - ромб (так как $nm=nk$ и противоположные стороны параллелограмма равны, то все стороны равны), то длина стороны $ml$ (основание) также равна $nl$.

$ml = nl = \frac{16\sqrt{3}}{3}$.

площадь параллелограмма (ромба) можно найти по формуле $s = \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$s_{mnkl} = ml \cdot nh = \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 8$.

$s_{mnkl} = \frac{128\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{128\sqrt{3}}{3}$