Номер 233, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

233. а) В треугольнике $ABC$ $\angle A = 45^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$, $BC = 6$ см.

Найдите стороны $AB$ и $AC$ треугольника и его площадь.

б) Найдите площадь треугольника, стороны которого равны

26 см, 10 см и 24 см.

a)

Дано:

в треугольнике $ABC$:

$\angle A = 45^\circ$

$\angle C = 30^\circ$

$BC = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$BC = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$AB$, $AC$, $S_{ABC}$

Решение:

1. Найдем угол $B$ треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $AB$ и $AC$. Теорема синусов гласит:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

где $a, b, c$ - стороны, противолежащие углам $A, B, C$ соответственно. В нашем случае $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$.

Найдем сторону $AB$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 30^\circ}$

$AB = \frac{6 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ см}$.

Найдем сторону $AC$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 105^\circ}$

Для $\sin 105^\circ$ используем формулу $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$:

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$AC = \frac{6 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 3\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = 3(\sqrt{3} + 1) \text{ см}$.

3. Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ - две стороны треугольника, а $\gamma$ - угол между ними. Используем стороны $BC$ и $AC$ и угол $C$ между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin C$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3(\sqrt{3} + 1) \cdot \sin 30^\circ$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{2}$

$S_{ABC} = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $AB = 3\sqrt{2} \text{ см}$, $AC = 3(\sqrt{3} + 1) \text{ см}$, $S_{ABC} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{2} \text{ см}^2$.

б)

Дано:

стороны треугольника $a = 26 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$, $c = 24 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 0.26 \text{ м}$

$b = 0.10 \text{ м}$

$c = 0.24 \text{ м}$

Найти:

$S$

Решение:

1. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора. Пусть самая длинная сторона будет гипотенузой:

$26^2 = 676$

$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$

Так как $26^2 = 10^2 + 24^2$, треугольник является прямоугольным. Его катеты равны $10 \text{ см}$ и $24 \text{ см}$.

2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2$.

Альтернативный способ (через формулу Герона):

1. Найдем полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+10+24}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}$.

2. Используем формулу Герона для площади треугольника:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{30(30-26)(30-10)(30-24)}$

$S = \sqrt{30 \cdot 4 \cdot 20 \cdot 6}$

$S = \sqrt{(5 \cdot 6) \cdot 4 \cdot (4 \cdot 5) \cdot 6}$

$S = \sqrt{5^2 \cdot 6^2 \cdot 4^2}$

$S = 5 \cdot 6 \cdot 4 = 120 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 120 \text{ см}^2$.