Практическое задание, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Постройте ромб, проведите его высоту и диагонали. Измерьте сторону, высоту и диагонали. Сравните произведение длины стороны на высоту ($a \cdot h$) с половиной произведения длин диагоналей ($\frac{1}{2} d_1 d_2$).

Постройте ромб, проведите его высоту и диагонали

Для решения задачи сначала выполним построения. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
1. Начертим две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O.
2. На одной прямой от точки O отложим равные отрезки $OA$ и $OC$. Отрезок $AC$ будет первой диагональю.
3. На второй прямой от точки O отложим другие равные между собой отрезки $OB$ и $OD$. Отрезок $BD$ станет второй диагональю.
4. Последовательно соединим точки A, B, C и D. Фигура ABCD является искомым ромбом.
5. Для построения высоты из вершины D опустим перпендикуляр DH на сторону AB. Отрезок DH — это высота ромба.
Таким образом, мы построили ромб ABCD, провели его диагонали $AC$ ($d_1$) и $BD$ ($d_2$), и высоту $DH$ ($h$).

Ответ: Построение ромба, его диагоналей и высоты выполнено согласно заданию.

Измерьте сторону, высоту и диагонали

Теперь необходимо измерить полученные отрезки. Так как выполнить физическое измерение невозможно, мы зададим для нашего ромба конкретные, математически согласованные размеры, как если бы мы их измерили линейкой.
Пусть длины диагоналей, которые мы задали при построении, равны:
- Длина диагонали $d_1 = AC = 16$ см.
- Длина диагонали $d_2 = BD = 12$ см.
Теперь мы можем точно вычислить длину стороны и высоты для этого ромба.
- Сторона ($a$): Диагонали ромба в точке пересечения O делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Его катеты равны $AO = d_1/2 = 8$ см и $BO = d_2/2 = 6$ см. Сторона ромба $a = AB$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:
$a = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.
- Высота ($h$): Площадь ромба $S$ можно найти как половину произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$. Также площадь равна произведению стороны на высоту: $S = a \cdot h$. Приравняв эти выражения, найдем $h$:
$h = \frac{\frac{1}{2}d_1 d_2}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12}{10} = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Ответ: Измеренные (и вычисленные для точности) длины составляют: сторона $a = 10$ см, высота $h = 9.6$ см, диагональ $d_1 = 16$ см, диагональ $d_2 = 12$ см.

Сравните произведение длины стороны на высоту с половиной произведения длин диагоналей

Используя полученные в предыдущем пункте значения, выполним требуемое сравнение.

1. Вычислим произведение длины стороны на высоту:
$a \cdot h = 10 \text{ см} \cdot 9.6 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

2. Вычислим половину произведения длин диагоналей:
$\frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 192 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2$.

Сравнивая результаты, мы видим, что они равны: $a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$, так как $96 = 96$.

Общий вывод: Этот результат не является случайностью и верен для любого ромба. Обе вычисленные величины представляют собой разные формулы для вычисления одной и той же характеристики — площади ромба.
- Площадь ромба (как и любого параллелограмма) равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h$.
- Площадь ромба также можно найти как половину произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$.
Поскольку обе формулы служат для вычисления площади одной и той же фигуры, их результаты всегда будут равны.

Ответ: Произведение длины стороны на высоту равно половине произведения длин диагоналей.