Номер 243, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

243. Периметр прямоугольника равен 68 см, разность его сторон равна 14 см. Середины сторон прямоугольника являются вершинами четырехугольника. Укажите вид этого четырехугольника и найдите его площадь.

Дано

Прямоугольник ABCD:

• Периметр $P_{ABCD} = 68 \text{ см}$
• Разность сторон $a - b = 14 \text{ см}$

Середины сторон прямоугольника являются вершинами четырехугольника PQRS.

Перевод в СИ:

$P_{ABCD} = 68 \text{ см} = 0.68 \text{ м}$

$a - b = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Найти:

Вид четырехугольника PQRS

Площадь четырехугольника PQRS, $S_{PQRS}$

Решение

1. Нахождение сторон прямоугольника:

Пусть стороны прямоугольника $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника задается формулой: $P = 2(a+b)$.

Согласно условию, $P = 68 \text{ см}$. Подставляем значение периметра в формулу:

$2(a+b) = 68$

Делим обе части уравнения на 2:

$a+b = 34 \text{ см}$

Также из условия известно, что разность сторон равна 14 см:

$a-b = 14 \text{ см}$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$a+b = 34$

$a-b = 14$

Сложим оба уравнения, чтобы исключить $b$:

$(a+b) + (a-b) = 34 + 14$

$2a = 48$

Разделим обе части на 2:

$a = 24 \text{ см}$

Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение $a+b=34$:

$24+b = 34$

$b = 34 - 24$

$b = 10 \text{ см}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны $24 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$.

Укажите вид этого четырехугольника

Пусть ABCD - данный прямоугольник, а P, Q, R, S - середины его сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Четырехугольник PQRS образован соединением этих середин.

Рассмотрим треугольник ABC. P - середина AB, Q - середина BC. Следовательно, PQ является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, PQ параллельна диагонали AC и $PQ = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, в треугольнике ADC, R - середина CD, S - середина DA. Следовательно, RS является средней линией треугольника ADC. По свойству средней линии, RS параллельна диагонали AC и $RS = \frac{1}{2} AC$.

Из этого следует, что $PQ \parallel RS$ и $PQ = RS$. Это означает, что PQRS является параллелограммом.

Теперь рассмотрим треугольник BAD. P - середина AB, S - середина AD. Следовательно, PS является средней линией треугольника BAD. По свойству средней линии, PS параллельна диагонали BD и $PS = \frac{1}{2} BD$.

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $AC = BD$.

Поскольку $PQ = \frac{1}{2} AC$ и $PS = \frac{1}{2} BD$, а $AC = BD$, то $PQ = PS$.

Параллелограмм, у которого соседние стороны равны, является ромбом.

Ответ: ромб.

найдите его площадь

Площадь ромба PQRS можно вычислить как половину произведения его диагоналей.

Диагоналями ромба PQRS являются отрезки PR и QS.

Диагональ PR соединяет середины сторон AB и CD. Этот отрезок параллелен сторонам AD и BC прямоугольника и равен их длине. Таким образом, $PR = b = 10 \text{ см}$.

Диагональ QS соединяет середины сторон BC и DA. Этот отрезок параллелен сторонам AB и CD прямоугольника и равен их длине. Таким образом, $QS = a = 24 \text{ см}$.

Формула площади ромба: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей.

Подставляем значения диагоналей:

$S_{PQRS} = \frac{1}{2} \times PR \times QS = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} \times 24 \text{ см}$

$S_{PQRS} = \frac{1}{2} \times 240 \text{ см}^2$

$S_{PQRS} = 120 \text{ см}^2$

Альтернативный способ: Известно, что площадь четырехугольника, образованного соединением середин сторон выпуклого четырехугольника, равна половине площади исходного четырехугольника.

Площадь прямоугольника $S_{ABCD} = a \times b = 24 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$.

Тогда площадь четырехугольника PQRS: $S_{PQRS} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 240 \text{ см}^2 = 120 \text{ см}^2$.

Ответ: $120 \text{ см}^2$.