Номер 246, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

246. Площадь прямоугольника равна $16\sqrt{3}$ см$^2$, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна $120^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Дано:

$S = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$

$\alpha = 120^\circ$ (угол между диагоналями)

Найти:

Стороны прямоугольника $a, b$.

Решение:

Пусть $d$ - длина диагонали прямоугольника. Площадь прямоугольника может быть выражена через длины его диагоналей $d_1, d_2$ и угол $\alpha$ между ними по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$.

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $d_1 = d_2 = d$.

Следовательно, формула площади принимает вид: $S = \frac{1}{2} d^2 \sin \alpha$.

Подставим известные значения: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \sin 120^\circ$.

Известно, что $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Получаем уравнение: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2} d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$16\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} d^2$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ и умножим на 4: $d^2 = 16 \cdot 4 = 64$.

Отсюда, $d = \sqrt{64} = 8$ см.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Пусть половина диагонали будет $x = d/2 = 8/2 = 4$ см.

Диагонали прямоугольника образуют четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим два из них.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и одной из сторон прямоугольника. Угол между диагоналями, который нам дан, равен $120^\circ$. Пусть этот угол является углом при вершине равнобедренного треугольника, стороной которого является $a$. Стороны этого треугольника, прилежащие к углу $120^\circ$, равны $x = 4$ см.

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $a$: $a^2 = x^2 + x^2 - 2x \cdot x \cos 120^\circ$.

$a^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2})$.

$a^2 = 16 + 16 + 16 = 48$.

$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим второй треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и другой стороной прямоугольника $b$. Угол между диагоналями, смежный с $120^\circ$, равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Стороны этого треугольника также равны $x = 4$ см.

Используем теорему косинусов для нахождения второй стороны $b$: $b^2 = x^2 + x^2 - 2x \cdot x \cos 60^\circ$.

$b^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (\frac{1}{2})$.

$b^2 = 16 + 16 - 16 = 16$.

$b = \sqrt{16} = 4$ см.

(Заметим, что треугольник с углом $60^\circ$ и двумя равными сторонами, прилежащими к этому углу, является равносторонним. Поэтому $b$ также равно $x=4$ см).

Ответ:

Стороны прямоугольника равны $4\sqrt{3}$ см и $4$ см.