Номер 249, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

249. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна $d$ и образует с большим основанием угол $45^\circ$.

Дано:

Трапеция равнобедренная.

Диагональ $d$.

Угол между диагональю и большим основанием $45^\circ$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в общей форме (алгебраическая величина $d$ и угол в градусах), перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB – большее основание, CD – меньшее основание. Проведем диагональ AC, которая, по условию, равна $d$ и образует угол $45^\circ$ с большим основанием AB, то есть $\angle CAB = 45^\circ$.

Опустим высоту CE из вершины C на основание AB. Треугольник ACE является прямоугольным (так как $CE \perp AB$).

В прямоугольном треугольнике ACE:

• Гипотенуза $AC = d$.
• Угол $\angle CAE = 45^\circ$.

Высота трапеции $h$ равна катету CE. Вычислим ее, используя синус угла:

$h = CE = AC \cdot \sin(\angle CAE) = d \cdot \sin(45^\circ) = d \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проекция диагонали AC на основание AB – это катет AE. Вычислим его, используя косинус угла:

$AE = AC \cdot \cos(\angle CAE) = d \cdot \cos(45^\circ) = d \frac{\sqrt{2}}{2}$

Известно свойство равнобедренной трапеции: длина проекции диагонали на большее основание равна средней линии трапеции. Пусть $a$ – длина большего основания AB, и $b$ – длина меньшего основания CD.

Средняя линия трапеции $m = \frac{a+b}{2}$.

Если мы опустим вторую высоту DF из вершины D на основание AB, то $AF = \frac{a-b}{2}$.

Тогда проекция диагонали AC на основание AB, то есть отрезок AE, может быть выражена как:

$AE = AB - EB = a - AF = a - \frac{a-b}{2} = \frac{2a - (a-b)}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, $AE$ действительно равен средней линии трапеции $m$.

Итак, средняя линия трапеции $m = AE = d \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = m \cdot h$.

Подставим найденные значения $m$ и $h$ в формулу площади:

$S = \left(d \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(d \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$S = d^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$S = d^2 \frac{2}{4}$

$S = \frac{d^2}{2}$

Ответ:

$S = \frac{d^2}{2}$