Номер 253, страница 123 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

253. a) Выразите площадь трапеции через ее среднюю линию $c$ и высоту $h$.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, боковая сторона равна 12 см, а угол при меньшем основании равен $135^\circ$.

a) Выразите площадь трапеции через ее среднюю линию $c$ и высоту $h$.

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, $h$ - ее высота, $S$ - площадь, а $c$ - средняя линия.Формула для площади трапеции выглядит как: $S = \frac{a+b}{2}h$.Формула для средней линии трапеции выглядит как: $c = \frac{a+b}{2}$.Подставим выражение для средней линии в формулу площади:$S = c \cdot h$.

Ответ: Площадь трапеции $S = c \cdot h$.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, боковая сторона равна 12 см, а угол при меньшем основании равен 135°.

Дано:Средняя линия $c = 10 \text{ см}$Боковая сторона $l = 12 \text{ см}$Угол при меньшем основании $\alpha = 135^{\circ}$Трапеция равнобедренная.

Перевод в систему СИ:$c = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$l = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$$\alpha = 135^{\circ}$

Найти: Площадь $S$.

РешениеДля нахождения площади трапеции мы можем использовать формулу, полученную в пункте а): $S = c \cdot h$. Средняя линия $c$ нам дана, поэтому необходимо найти высоту $h$.В равнобедренной трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Поскольку угол при меньшем основании равен $135^{\circ}$, то угол при большем основании (назовем его $\beta$) равен:$\beta = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.Проведем высоту $h$ из вершины меньшего основания к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, а одним из острых углов является угол при большем основании ($\beta = 45^{\circ}$). Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу.Используем тригонометрическое соотношение синуса:$\sin(\beta) = \frac{h}{l}$$h = l \cdot \sin(\beta)$$h = 12 \text{ см} \cdot \sin(45^{\circ})$Так как $\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:$h = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$.Теперь, зная среднюю линию $c$ и высоту $h$, можем найти площадь трапеции:$S = c \cdot h$$S = 10 \text{ см} \cdot 6\sqrt{2} \text{ см}$$S = 60\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $60\sqrt{2} \text{ см}^2$.