Номер 256, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

256. а) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне, а основания равны 20 см и 12 см.

б) Вырежьте из бумаги равнобедренную трапецию и разрежьте ее на две части, из которых можно составить прямоугольник.

а) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне, а основания равны 20 см и 12 см.

Дано:

Равнобедренная трапеция ABCD.

Основания: $AD = a = 20 \text{ см}$, $BC = b = 12 \text{ см}$.

Диагональ перпендикулярна боковой стороне (например, $AC \perp CD$).

Перевод в СИ:

$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AD - большее основание, BC - меньшее. Пусть AB и CD - боковые стороны. Поскольку трапеция равнобедренная, $AB = CD$.

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C к основанию AD. Пусть H и K - точки на AD.

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, равны:

$AK = DH = \frac{AD - BC}{2}$

$DH = \frac{20 \text{ см} - 12 \text{ см}}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$

Так как $AC \perp CD$, треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом при вершине C и гипотенузой AD.

В прямоугольном треугольнике ACD, высота CK, опущенная на гипотенузу AD, является одной из сторон, участвующих в нахождении площади. Мы ищем высоту $h = CK$.

В прямоугольном треугольнике CKD (с прямым углом при K) по теореме Пифагора:

$CD^2 = CK^2 + KD^2$

$CD^2 = h^2 + 4^2$

$CD^2 = h^2 + 16$

В прямоугольном треугольнике ACK (с прямым углом при K) по теореме Пифагора:

$AC^2 = AK^2 + CK^2$

Здесь $AK = AD - KD = 20 \text{ см} - 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

$AC^2 = 16^2 + h^2$

$AC^2 = 256 + h^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

Подставим выражения для $AC^2$ и $CD^2$:

$20^2 = (256 + h^2) + (h^2 + 16)$

$400 = 256 + h^2 + h^2 + 16$

$400 = 272 + 2h^2$

$2h^2 = 400 - 272$

$2h^2 = 128$

$h^2 = 64$

$h = 8 \text{ см}$

Теперь найдем площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{20 \text{ см} + 12 \text{ см}}{2} \cdot 8 \text{ см}$

$S = \frac{32 \text{ см}}{2} \cdot 8 \text{ см}$

$S = 16 \text{ см} \cdot 8 \text{ см}$

$S = 128 \text{ см}^2$

Ответ: $128 \text{ см}^2$

б) Вырежьте из бумаги равнобедренную трапецию и разрежьте ее на две части, из которых можно составить прямоугольник.

Для выполнения этого задания следуйте пошаговой инструкции:

1. Начертите на листе бумаги равнобедренную трапецию ABCD. Обозначьте AD как большее основание, а BC – меньшее основание. Стороны AB и CD – боковые стороны, они равны.
2. Проведите одну из высот трапеции, например, высоту CH из вершины C к основанию AD. Точка H будет лежать на основании AD. В результате проведения этой высоты, трапеция ABCD будет разделена на прямоугольный треугольник $\triangle CDH$ и прямоугольную трапецию ABCH.
3. Возьмите ножницы и аккуратно разрежьте трапецию по проведенной линии CH. Таким образом, вы получите две части:
   • Часть 1: Прямоугольный треугольник $\triangle CDH$.
   • Часть 2: Прямоугольная трапеция ABCH.
4. Теперь возьмите Часть 1 (треугольник $\triangle CDH$) и переместите ее. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины B к основанию AD (обозначим ее BH'), создаст прямоугольный треугольник $\triangle ABH'$. Треугольники $\triangle CDH$ и $\triangle ABH'$ конгруэнтны (равны).
5. Положите Часть 2 (прямоугольную трапецию ABCH) перед собой. Возьмите Часть 1 (треугольник $\triangle CDH$) и приложите ее к Части 2 таким образом, чтобы сторона CH треугольника $\triangle CDH$ совместилась с воображаемой линией высоты, проведенной из вершины B (т.е. с BH'), а вершина D треугольника $\triangle CDH$ совместилась с вершиной A трапеции. В результате такой перестановки, две части трапеции образуют прямоугольник. Длина этого прямоугольника будет равна полусумме оснований трапеции $\left(\frac{AD+BC}{2}\right)$, а ширина будет равна высоте трапеции (CH).

Ответ: Разрезать равнобедренную трапецию по одной из ее высот (например, CH), получить две части (прямоугольный треугольник $\triangle CDH$ и прямоугольную трапецию ABCH), затем переложить треугольник $\triangle CDH$ к другой стороне трапеции, совместив его с высотой, проведенной из противоположного угла, чтобы сформировать прямоугольник.