Номер 251, страница 123 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

251. a) Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 10 см, средняя линия – 16 см и один из углов – $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

б) Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 8 дм и 12 дм, а один из углов $135^\circ$.

а) Найдите площадь трапеции.

Дано:

Меньшее основание $b = 10 \text{ см}$

Средняя линия $m = 16 \text{ см}$

Один из углов $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$b = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$m = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$

Решение:

Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла ($90^\circ$). Данный угол $60^\circ$ является острым углом и находится при большем основании.

1. Найдем большее основание $a$. Средняя линия трапеции $m$ выражается формулой $m = \frac{a+b}{2}$.

Отсюда $a+b = 2m$.

$a = 2m - b$

$a = 2 \times 16 \text{ см} - 10 \text{ см} = 32 \text{ см} - 10 \text{ см} = 22 \text{ см}$.

2. Проведем высоту $h$ из вершины меньшего основания к большему основанию. Эта высота является одной из боковых сторон прямоугольной трапеции. Образовавшийся прямоугольный треугольник имеет катеты $h$ и $(a-b)$, а его гипотенуза - наклонная боковая сторона. Угол при большем основании в этом треугольнике равен $60^\circ$.

Разность оснований: $a-b = 22 \text{ см} - 10 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

3. Используем тригонометрическое соотношение (тангенс) для нахождения высоты $h$:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{a-b}$

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{12 \text{ см}}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$h = 12 \text{ см} \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ см}$.

4. Площадь трапеции $S$ может быть найдена по формуле $S = m \times h$ (произведение средней линии на высоту).

$S = 16 \text{ см} \times 12\sqrt{3} \text{ см} = 192\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь трапеции равна $192\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 8 дм и 12 дм, а один из углов 135°.

Дано:

Меньшее основание $b = 8 \text{ дм}$

Большее основание $a = 12 \text{ дм}$

Один из углов $\beta = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$b = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$a = 12 \text{ дм} = 1.2 \text{ м}$

Найти:

Периметр $P$ и площадь $S$

Решение:

1. В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Если один из непрямых углов равен $135^\circ$, то это тупой угол, который прилежит к меньшему основанию. Следовательно, угол при большем основании, прилежащий к той же наклонной боковой стороне, равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

2. Высота трапеции $h$ является одной из ее боковых сторон (обозначим ее $c_1$). Проведем вторую высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Она образует прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $(a-b)$, и гипотенузой, равной наклонной боковой стороне $c_2$.

Разность оснований: $a-b = 12 \text{ дм} - 8 \text{ дм} = 4 \text{ дм}$.

3. В образованном прямоугольном треугольнике угол при большем основании равен $45^\circ$. Используем тангенс этого угла:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{a-b}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{h}{4 \text{ дм}}$

$h = 4 \text{ дм}$.

Таким образом, одна из боковых сторон (высота) $c_1 = 4 \text{ дм}$.

4. Найдем наклонную боковую сторону $c_2$ (гипотенузу прямоугольного треугольника) с помощью косинуса угла $45^\circ$:

$\cos(45^\circ) = \frac{a-b}{c_2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \text{ дм}}{c_2}$

$c_2 = \frac{4 \text{ дм} \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \text{ дм} = \frac{8\sqrt{2}}{2} \text{ дм} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$.

5. Вычислим периметр трапеции $P = a + b + c_1 + c_2$.

$P = 12 \text{ дм} + 8 \text{ дм} + 4 \text{ дм} + 4\sqrt{2} \text{ дм} = (24 + 4\sqrt{2}) \text{ дм}$.

6. Вычислим площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \times h$.

$S = \frac{12 \text{ дм} + 8 \text{ дм}}{2} \times 4 \text{ дм} = \frac{20 \text{ дм}}{2} \times 4 \text{ дм} = 10 \text{ дм} \times 4 \text{ дм} = 40 \text{ дм}^2$.

Ответ: Периметр трапеции равен $(24 + 4\sqrt{2}) \text{ дм}$, а площадь равна $40 \text{ дм}^2$.