Номер 248, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

248. a) Выразите площадь квадрата через его диагональ $d$.

б) Дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.

a) Выразите площадь квадрата через его диагональ d.

Дано

Квадрат со стороной a и диагональю d.

Найти

Площадь квадрата S через его диагональ d.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Площадь квадрата выражается формулой:

$S = a^2$

Диагональ d квадрата является гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника, образованного двумя сторонами квадрата и самой диагональю. По теореме Пифагора:

$a^2 + a^2 = d^2$

$2a^2 = d^2$

Выразим $a^2$ из этого уравнения:

$a^2 = \frac{d^2}{2}$

Так как площадь квадрата $S = a^2$, подставим найденное выражение для $a^2$:

$S = \frac{d^2}{2}$

Ответ: $S = \frac{d^2}{2}$

б) Дан четырехугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.

Дано

Четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD которого пересекаются в точке O.

Найти

Доказать равенство $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.

Решение

Рассмотрим треугольники △AOB и △AOD. Они имеют общую вершину A, а их основания BO и DO лежат на одной прямой BD. Следовательно, высоты этих треугольников, опущенные из вершины A на прямую BD, равны. Пусть эта высота равна h_A.

Площадь треугольника △AOB равна:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_A$

Площадь треугольника △AOD равна:

$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_A$

Найдем отношение этих площадей:

$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_A} = \frac{BO}{DO}$ (1)

Аналогично, рассмотрим треугольники △BOC и △COD. Они имеют общую вершину C, а их основания BO и DO также лежат на одной прямой BD. Следовательно, высоты этих треугольников, опущенные из вершины C на прямую BD, равны. Пусть эта высота равна h_C.

Площадь треугольника △BOC равна:

$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_C$

Площадь треугольника △COD равна:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_C$

Найдем отношение этих площадей:

$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BO \cdot h_C}{\frac{1}{2} \cdot DO \cdot h_C} = \frac{BO}{DO}$ (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что:

$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}}$

Перемножим части равенства крест-на-крест:

$S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle AOD} \cdot S_{\triangle BOC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $S_{\triangle AOB} \cdot S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} \cdot S_{\triangle AOD}$.