Номер 247, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

247. Найдите наибольшее значение площади прямоугольника,

диагональ которого равна:

а) $11 \text{ см}$;

б) $3 \text{ дм}$.

Для решения задачи найдем зависимость площади прямоугольника от его диагонали и определим условие, при котором площадь достигает максимального значения.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ равна $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю, имеем: $a^2 + b^2 = d^2$.

Площадь прямоугольника $S$ выражается формулой $S = a \cdot b$.

Для нахождения наибольшего значения площади воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для неотрицательных чисел $a^2$ и $b^2$: $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \sqrt{a^2 \cdot b^2}$.

Подставляя $a^2 + b^2 = d^2$, получаем: $\frac{d^2}{2} \ge \sqrt{(a \cdot b)^2}$.

Поскольку $a$ и $b$ - это длины сторон, они положительны, поэтому $\sqrt{(a \cdot b)^2} = a \cdot b$. Таким образом: $\frac{d^2}{2} \ge a \cdot b$.

Это означает, что $S \le \frac{d^2}{2}$. Наибольшее значение площади достигается, когда неравенство превращается в равенство, то есть когда $a^2 = b^2$. Поскольку $a$ и $b$ - длины сторон, они положительны, следовательно, $a = b$. Это условие означает, что прямоугольник является квадратом.

Таким образом, наибольшая площадь прямоугольника с заданной диагональю $d$ равна $S_{max} = \frac{d^2}{2}$.

а) 11 см

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 11 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$d = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$.

Найти:

Наибольшее значение площади прямоугольника $S_{max}$.

Решение:

Используем выведенную формулу для наибольшей площади: $S_{max} = \frac{d^2}{2}$. $S_{max} = \frac{(0.11 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.0121 \text{ м}^2}{2} = 0.00605 \text{ м}^2$. Для удобства представим ответ в квадратных сантиметрах: $S_{max} = 0.00605 \text{ м}^2 \cdot (100 \text{ см}/\text{м})^2 = 0.00605 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 60.5 \text{ см}^2$.

Ответ: $60.5 \text{ см}^2$.

б) 3 дм

Дано:

Диагональ прямоугольника $d = 3 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$d = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$.

Найти:

Наибольшее значение площади прямоугольника $S_{max}$.

Решение:

Используем выведенную формулу для наибольшей площади: $S_{max} = \frac{d^2}{2}$. $S_{max} = \frac{(0.3 \text{ м})^2}{2} = \frac{0.09 \text{ м}^2}{2} = 0.045 \text{ м}^2$. Для удобства представим ответ в квадратных дециметрах: $S_{max} = 0.045 \text{ м}^2 \cdot (10 \text{ дм}/\text{м})^2 = 0.045 \cdot 100 \text{ дм}^2 = 4.5 \text{ дм}^2$.

Ответ: $4.5 \text{ дм}^2$.