Номер 242, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

242. Площадь ромба равна $216 \text{ см}^2$, а длины его диагоналей относятся как 3 : 4. Найдите сторону ромба.

Дано

Площадь ромба $S = 216 \text{ см}^2$.

Отношение длин диагоналей $d_1 : d_2 = 3 : 4$.

Перевод в СИ

$S = 216 \text{ см}^2 = 216 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 0.0216 \text{ м}^2$.

(Однако, для удобства вычислений в ходе решения будем использовать сантиметры, так как все промежуточные и конечные значения будут удобны в этой системе единиц).

Найти:

Сторону ромба $a$.

Решение

Пусть длины диагоналей ромба будут $d_1$ и $d_2$.

Известно, что отношение длин диагоналей равно $3:4$. Это означает, что мы можем представить их как $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$ для некоторого положительного коэффициента $x$.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Подставим данные значения и выражения для диагоналей в формулу площади:

$216 = \frac{1}{2} (3x)(4x)$

$216 = \frac{1}{2} (12x^2)$

$216 = 6x^2$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x^2$:

$x^2 = \frac{216}{6}$

$x^2 = 36$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $x$. Поскольку $x$ представляет собой часть длины, оно должно быть положительным:

$x = \sqrt{36}$

$x = 6$

Теперь, когда мы знаем значение $x$, можем найти длины диагоналей:

$d_1 = 3x = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}$

$d_2 = 4x = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Это образует четыре прямоугольных треугольника. Сторона ромба $a$ является гипотенузой каждого такого треугольника, а его катетами являются половины диагоналей.

Длины половин диагоналей:

$\frac{d_1}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}$

$\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$

Применим теорему Пифагора для нахождения стороны ромба $a$:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a^2 = (9)^2 + (12)^2$

$a^2 = 81 + 144$

$a^2 = 225$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{225}$

$a = 15 \text{ см}$

Ответ:

Сторона ромба равна $15 \text{ см}$.