Номер 244, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

244. Средняя линия и высота равнобедренной трапеции соответственно равны 15 см и 6 см. Середины ее сторон являются вершинами четырехугольника. Укажите вид этого четырехугольника и найдите его площадь.

Дано:

Средняя линия равнобедренной трапеции $m = 15 \text{ см}$

Высота равнобедренной трапеции $h = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$m = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Вид четырехугольника, образованного серединами сторон трапеции.

Площадь этого четырехугольника $S_{четырехугольника}$.

Решение

Укажите вид этого четырехугольника

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$. Обозначим середины ее сторон как $K, L, M, N$, где $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $BC$, $M$ — середина $CD$, $N$ — середина $DA$. Четырехугольник, образованный соединением середин сторон любого четырехугольника, называется вариньоновым параллелограммом. Это свойство следует из теоремы Вариньона, которая утверждает, что такой четырехугольник всегда является параллелограммом.

В данном случае, трапеция является равнобедренной. Это означает, что ее диагонали равны по длине: $AC = BD$.

Стороны четырехугольника $KLMN$ являются средними линиями треугольников, образующих трапецию:

• Сторона $KL$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

• Сторона $LM$ является средней линией треугольника $BCD$, поэтому $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2} BD$.

• Сторона $MN$ является средней линией треугольника $CDA$, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

• Сторона $NK$ является средней линией треугольника $DAB$, поэтому $NK \parallel BD$ и $NK = \frac{1}{2} BD$.

Поскольку трапеция равнобедренная, ее диагонали равны ($AC = BD$). Следовательно, длины всех сторон четырехугольника $KLMN$ также равны: $KL = LM = MN = NK$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Ромб.

Найдите его площадь

Площадь трапеции $S_{трапеции}$ можно найти по формуле: $S_{трапеции} = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия трапеции, а $h$ — ее высота.

Используем данные в единицах СИ:

$S_{трапеции} = 0.15 \text{ м} \cdot 0.06 \text{ м} = 0.009 \text{ м}^2$.

Переведем значение площади обратно в квадратные сантиметры, так как исходные данные были в сантиметрах:

$S_{трапеции} = 0.009 \text{ м}^2 = 0.009 \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.009 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 90 \text{ см}^2$.

Существует теорема, которая гласит, что площадь четырехугольника, образованного соединением середин сторон произвольного выпуклого четырехугольника, равна половине площади исходного четырехугольника.

Таким образом, площадь четырехугольника $KLMN$ (ромба) $S_{KLMN}$ будет равна половине площади трапеции $ABCD$:

$S_{KLMN} = \frac{1}{2} S_{трапеции}$

$S_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot 90 \text{ см}^2 = 45 \text{ см}^2$.

Ответ: $45 \text{ см}^2$.