Практическое задание, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Постройте трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Проведите отрезок $CM$, параллельный ее диагонали $BD$ (точка $M$ принадлежит лучу $AD$). Объясните, почему площадь треугольника $ACM$ равна половине произведения суммы длин оснований этой трапеции на ее высоту.

Данное утверждение можно доказать, показав, что площадь треугольника $ACM$ равна площади трапеции $ABCD$.

Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Площадь треугольника $ACM$ с основанием $AM$ и высотой, проведенной из вершины $C$, вычисляется по формуле:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h_C$

Поскольку точка $M$ лежит на луче $AD$, который является продолжением основания трапеции, то прямая $AM$ совпадает с прямой $AD$. Высота $h_C$ треугольника $ACM$, проведенная из вершины $C$ к прямой $AM$, равна высоте трапеции $h$ (расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $AD$). Таким образом, формула площади треугольника принимает вид:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$

Чтобы доказать, что площадь треугольника $ACM$ равна площади трапеции $ABCD$, необходимо доказать равенство правых частей их формул:

$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Так как высота $h > 0$, это равенство эквивалентно следующему:

$AM = BC + AD$

Докажем это равенство. Так как точка $M$ лежит на луче $AD$, то длина отрезка $AM$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DM$:

$AM = AD + DM$

Следовательно, задача сводится к доказательству того, что $DM = BC$.

Рассмотрим четырехугольник $BCMD$. По определению трапеции, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $AD$, то и $BC \parallel DM$. По условию задачи, отрезок $CM$ был проведен параллельно диагонали $BD$, то есть $CM \parallel BD$.

Четырехугольник $BCMD$, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ($BC \parallel DM$ и $BD \parallel CM$), является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что $DM = BC$.

Таким образом, мы доказали, что $AM = AD + DM = AD + BC$.

Теперь подставим полученное выражение для $AM$ в формулу площади треугольника $ACM$:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot (AD + BC) \cdot h$

Это выражение в точности совпадает с формулой для площади трапеции $ABCD$. Следовательно, площадь треугольника $ACM$ равна площади трапеции $ABCD$, а значит, равна половине произведения суммы длин оснований этой трапеции на ее высоту.

Ответ: Площадь треугольника $ACM$ и площадь трапеции $ABCD$ вычисляются по формулам $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$ и $S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$, где $h$ — общая высота. Равенство площадей достигается, если $AM = AD+BC$. Чтобы это доказать, рассмотрим четырехугольник $BCMD$. По определению трапеции, $BC \parallel AD$, значит, $BC \parallel DM$. По построению, $CM \parallel BD$. Таким образом, $BCMD$ — параллелограмм, из чего следует, что его противолежащие стороны равны: $DM=BC$. Тогда $AM = AD + DM = AD + BC$. Подставив это в формулу площади треугольника, получаем $S_{ACM} = \frac{1}{2}(AD+BC)h = S_{ABCD}$.