Номер 245, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

245. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, $AD = 10$ см, $BC = 5$ см, $AC = 9$ см, $BD = 12$ см. Найдите площадь трапеции.

Дано:

трапеция $ABCD$

основания $BC$ и $AD$

$AD = 10 \text{ см}$

$BC = 5 \text{ см}$

$AC = 9 \text{ см}$

$BD = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AD = 0.1 \text{ м}$

$BC = 0.05 \text{ м}$

$AC = 0.09 \text{ м}$

$BD = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$S_{ABCD}$

Решение:

1. Построение вспомогательного параллелограмма.

Проведем через вершину $C$ прямую $CE$, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

Таким образом, четырехугольник $BCED$ является параллелограммом (так как $BC \parallel AD$ по определению трапеции, и $CE \parallel BD$ по построению).

Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $DE = BC = 5 \text{ см}$ и $CE = BD = 12 \text{ см}$.

2. Рассмотрение треугольника $ACE$.

Стороны треугольника $ACE$ равны:

$AC = 9 \text{ см}$ (дано)

$CE = 12 \text{ см}$ (построено, равно $BD$)

$AE = AD + DE = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Проверим, является ли треугольник $ACE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого вычислим квадраты длин сторон:

$AC^2 = 9^2 = 81$

$CE^2 = 12^2 = 144$

$AE^2 = 15^2 = 225$

Сумма квадратов двух меньших сторон:

$AC^2 + CE^2 = 81 + 144 = 225$.

Так как $AC^2 + CE^2 = AE^2$, то треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

3. Нахождение высоты трапеции.

Высота трапеции $h$ является высотой треугольника $ACE$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AE$.

Площадь прямоугольного треугольника $ACE$ может быть найдена как половина произведения его катетов:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 108 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$.

Также площадь треугольника $ACE$ можно выразить через основание $AE$ и высоту $h$:

$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 15 \text{ см} \cdot h$.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$54 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h$

$108 = 15h$

$h = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2 \text{ см}$.

Переведем высоту в СИ: $h = 7.2 \text{ см} = 0.072 \text{ м}$.

4. Нахождение площади трапеции.

Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(AD + BC)h$.

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}(0.1 \text{ м} + 0.05 \text{ м}) \cdot 0.072 \text{ м}$

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}(0.15 \text{ м}) \cdot 0.072 \text{ м}$

$S_{ABCD} = 0.075 \text{ м} \cdot 0.072 \text{ м}$

$S_{ABCD} = 0.0054 \text{ м}^2$.

Переведем результат обратно в квадратные сантиметры:

$S_{ABCD} = 0.0054 \text{ м}^2 = 0.0054 \cdot (100 \text{ см})^2 = 0.0054 \cdot 10000 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$