Вопросы, страница 123 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади трапеции.

2. Докажите, что площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту.

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади трапеции.

Формулировка:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Если $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, а $h$ - ее высота, то площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2}h$

Решение

Доказательство:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$, и высотой $h$. Проведем диагональ $AC$. Эта диагональ делит трапецию на два треугольника: $ABC$ и $ACD$.

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$.

Высота трапеции $h$ является общей высотой для обоих треугольников, если рассматривать ее относительно соответствующих оснований. Для треугольника $ACD$ основанием является $AD$, а высота, проведенная к $AD$ из вершины $C$, равна $h$. Для треугольника $ABC$ основанием является $BC$, а высота, проведенная к $BC$ из вершины $A$, также равна $h$.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Тогда площадь треугольника $ACD$ равна: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2}ah$.

Площадь треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2}bh$.

Складываем площади этих треугольников, чтобы получить площадь трапеции:

$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh$

Вынося $\frac{1}{2}h$ за скобки, получаем:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}h(a+b)$

Таким образом, площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту.

2. Докажите, что площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту.

Решение

Доказательство:

Согласно теореме о площади трапеции, сформулированной и доказанной выше (в пункте 1), площадь трапеции $S$ с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ выражается формулой:

$S = \frac{a+b}{2}h$

Определение средней линии трапеции гласит, что средняя линия трапеции ($m$) соединяет середины ее непараллельных сторон и параллельна основаниям. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

Подставим выражение для средней линии $m$ в формулу площади трапеции:

$S = m \cdot h$

Таким образом, площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту.