Номер 252, страница 123 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

252. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:

а) ее основания и боковая сторона соответственно равны 11 см, 17 см и 5 см;

б) известны ее основания 8 см, 2 см и угол $60^\circ$.

а) ее основания и боковая сторона соответственно равны 11 см, 17 см и 5 см

Дано:

трапеция равнобедренная

меньшее основание $b = 11$ см

большее основание $a = 17$ см

боковая сторона $c = 5$ см

Перевод в СИ:

$b = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

$a = 17 \text{ см} = 0.17 \text{ м}$

$c = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

площадь $S$

Решение:

формула для площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции.

для нахождения высоты $h$ опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее основание. получим два прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник в середине.

длина отрезка $x$ большего основания, отсекаемого высотой, равна:

$x = \frac{a - b}{2}$

$x = \frac{17 \text{ см} - 11 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

в одном из прямоугольных треугольников боковая сторона является гипотенузой, а высота $h$ и отрезок $x$ - катетами.

по теореме пифагора:

$h^2 + x^2 = c^2$

$h^2 + (3 \text{ см})^2 = (5 \text{ см})^2$

$h^2 + 9 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$

$h^2 = 25 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2$

$h^2 = 16 \text{ см}^2$

$h = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

теперь найдем площадь трапеции:

$S = \frac{17 \text{ см} + 11 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$

$S = \frac{28 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$

$S = 14 \text{ см} \cdot 4 \text{ см}$

$S = 56 \text{ см}^2$

Ответ: $56 \text{ см}^2$

б) известны ее основания 8 см, 2 см и угол 60°

Дано:

трапеция равнобедренная

большее основание $a = 8$ см

меньшее основание $b = 2$ см

угол при основании $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

площадь $S$

Решение:

формула для площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции.

для нахождения высоты $h$ опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее основание.

длина отрезка $x$ большего основания, отсекаемого высотой, равна:

$x = \frac{a - b}{2}$

$x = \frac{8 \text{ см} - 2 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

в образовавшемся прямоугольном треугольнике, высота $h$ является противолежащим катетом к углу $\alpha$, а отрезок $x$ - прилежащим катетом.

используем тангенс угла:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

$h = x \cdot \tan(\alpha)$

$h = 3 \text{ см} \cdot \tan(60^\circ)$

мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$h = 3 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$

теперь найдем площадь трапеции:

$S = \frac{8 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2} \cdot (3 \cdot \sqrt{3} \text{ см})$

$S = \frac{10 \text{ см}}{2} \cdot (3 \cdot \sqrt{3} \text{ см})$

$S = 5 \text{ см} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$

$S = 15 \cdot \sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $15\sqrt{3} \text{ см}^2$