Номер 258, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

258. В окружности радиуса 4 см проведены диаметр $AD$ и параллельная ему хорда $BC$, стягивающая дугу в $60^\circ$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.

Дано:

Радиус окружности $R = 4$ см. Диаметр $AD$. Хорда $BC \parallel AD$. Дуга $BC$ стягивает центральный угол $60^\circ$.

Найти:

Площадь трапеции $ABCD$ ($S_{ABCD}$).

Решение:

1. Найдем длины оснований трапеции. Диаметр $AD$ является одним из оснований трапеции. Длина диаметра равна двум радиусам: $AD = 2R = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Хорда $BC$ является другим основанием трапеции. Так как хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$, центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на эту дугу, равен $60^\circ$. Треугольник $BOC$ является равнобедренным, так как $OB = OC = R$ (радиусы окружности). Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, треугольник $BOC$ является равносторонним. Следовательно, длина хорды $BC$ равна радиусу: $BC = R = 4 \text{ см}$.

2. Найдем высоту трапеции. Пусть $O$ - центр окружности. Поскольку $AD$ является диаметром, он проходит через центр $O$. Хорда $BC$ параллельна диаметру $AD$. Высотой трапеции $ABCD$ будет перпендикулярное расстояние от хорды $BC$ до диаметра $AD$. Проведем перпендикуляр из центра $O$ к хорде $BC$. Пусть $M$ - точка пересечения этого перпендикуляра с $BC$. $OM$ является высотой в равностороннем треугольнике $BOC$ и одновременно расстоянием от центра до хорды $BC$. $OM$ также является высотой трапеции $h$, так как $OM \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (а $AD$ проходит через $O$). В равностороннем треугольнике $BOC$ высота $OM$ может быть найдена по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $OMB$, где $OB = R = 4$ см и $BM = BC/2 = R/2 = 4/2 = 2$ см. $h = OM = \sqrt{OB^2 - BM^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Вычислим площадь трапеции. Площадь трапеции $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{(a + b)h}{2}$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота. $S_{ABCD} = \frac{(AD + BC)h}{2} = \frac{(8 + 4) \cdot 2\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$.