Номер 265, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

265. Диагональ параллелограмма равна 12 см, одна из его сторон – 8 см, а угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Дано:

Диагональ параллелограмма $d_1 = 12$ см

Сторона параллелограмма $a = 8$ см

Угол между диагональю и стороной $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$d_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Угол $\alpha = 30^\circ$

Найти:

Площадь параллелограмма $S$

Решение:

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть сторона $AB = a = 8$ см, и диагональ $AC = d_1 = 12$ см. Угол между ними, то есть $\angle CAB = \alpha = 30^\circ$.

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. В данном случае, диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на треугольники $ABC$ и $ADC$. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ABC$ ($S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$).

Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле, которая использует две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона1} \cdot \text{сторона2} \cdot \sin(\text{угол между ними})$

Подставим известные значения в формулу для площади треугольника $ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle CAB)$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

Известно, что значение синуса угла $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим это значение в формулу для площади треугольника:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot (8 \cdot 12)$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 96$

$S_{\triangle ABC} = 24 \text{ см}^2$

Площадь параллелограмма $S$ равна удвоенной площади треугольника $ABC$:

$S = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$

$S = 2 \cdot 24 \text{ см}^2$

$S = 48 \text{ см}^2$

Ответ:

$48 \text{ см}^2$