Номер 271, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

271. a) Вырежьте из бумаги две равные трапеции и разрежьте одну из них на две части, из которых можно составить треугольник, а вторую на две части, из которых можно составить параллелограмм.

б) Через точку, лежащую внутри данного угла, проведите прямую, отсекающую от него треугольник наименьшей площади.

a) Вырежьте из бумаги две равные трапеции и разрежьте одну из них на две части, из которых можно составить треугольник, а вторую на две части, из которых можно составить параллелограмм.

1. Для создания треугольника из трапеции:

Возьмите одну трапецию $ABCD$ с параллельными основаниями $AB$ и $CD$. Найдите середину $M$ одной из непараллельных сторон, например, $BC$. Разрежьте трапецию по отрезку $DM$ (соединяющему вершину $D$ с серединой $M$ стороны $BC$). Получатся две части: треугольник $DMC$ и четырехугольник $ABDM$. Поверните треугольник $DMC$ вокруг точки $M$ на $180^\circ$. При этом точка $C$ совместится с точкой $B$ (так как $M$ — середина $BC$), а точка $D$ перейдет в новую точку $D'$ (так что точки $D$, $M$, $D'$ будут лежать на одной прямой, и $DM = MD'$). Объедините четырехугольник $ABDM$ с повернутым треугольником $BMD'$. В результате вы получите треугольник $ABD'$. Площадь полученного треугольника будет равна площади исходной трапеции.

Ответ: описан в решении.

2. Для создания параллелограмма из трапеции:

Возьмите вторую трапецию $ABCD$ с параллельными основаниями $AB$ и $CD$. Найдите середину $M$ одного из оснований, например, верхнего основания $CD$. Разрежьте трапецию по отрезку $BM$ (соединяющему вершину $B$ с серединой $M$ основания $CD$). Получатся две части: треугольник $BMC$ и четырехугольник $ABMD$. Поверните треугольник $BMC$ вокруг точки $M$ на $180^\circ$. При этом точка $C$ совместится с точкой $D$ (так как $M$ — середина $CD$), а точка $B$ перейдет в новую точку $B'$ (так что точки $B$, $M$, $B'$ будут лежать на одной прямой, и $BM = MB'$). Объедините четырехугольник $ABMD$ с повернутым треугольником $DMB'$. В результате вы получите параллелограмм $ABB'D$. Площадь полученного параллелограмма будет равна площади исходной трапеции.

Ответ: описан в решении.

b) Через точку, лежащую внутри данного угла, проведите прямую, отсекающую от него треугольник наименьшей площади.

Дано:

Угол с вершиной $O$ (обозначим его $\angle XOY$).

Точка $P$, лежащая внутри угла.

Найти:

Прямую, проходящую через $P$, которая отсекает от угла треугольник наименьшей площади.

Решение:

Пусть дан угол $\angle XOY$ с вершиной $O$. Известно, что прямая, проходящая через заданную точку $P$ и отсекающая от угла треугольник наименьшей площади, является такой, что точка $P$ оказывается серединой отрезка, заключенного между сторонами угла. Обозначим этот отрезок $AB$, где $A$ лежит на стороне $OX$, а $B$ — на стороне $OY$.

Построение:

1. Проведите прямую через вершину угла $O$ и заданную точку $P$.
2. На этой прямой отложите от точки $P$ отрезок $PO'$ равный $OP$ так, чтобы точки $O$, $P$, $O'$ были на одной прямой, и $P$ была серединой отрезка $OO'$. Точка $O'$ является центрально-симметричной точкой для $O$ относительно $P$.
3. Через точку $O'$ проведите прямую, параллельную одной из сторон угла (например, $OX$), до пересечения с другой стороной угла ($OY$). Пусть точка пересечения будет $B$.
4. Проведите прямую через точку $P$ и точку $B$. Пусть эта прямая пересечет сторону $OX$ в точке $A$.
5. Полученная прямая $AB$ и является искомой прямой.

Доказательство:

1. По построению, $P$ является серединой отрезка $OO'$.

2. Прямая $O'B$ была проведена параллельно $OX$. Так как $OA$ лежит на $OX$, то $O'B \parallel OA$.

3. Построим также прямую через $O'$, параллельную $OY$, до пересечения с $OX$ в точке $A$. (Хотя в пункте 4 построения мы получили $A$ по-другому, это приведет к тому же результату). Тогда $O'A \parallel OB$.

4. Четырехугольник $OAO'B$ является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны ($OA \parallel O'B$ и $OB \parallel O'A$).

5. В параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения. Поскольку $P$ является серединой диагонали $OO'$, она также является серединой второй диагонали $AB$.

6. Доказано, что площадь треугольника $OAB$ минимальна, когда точка $P$ является серединой отрезка $AB$. (Это известная теорема из геометрии, которую можно доказать, например, с использованием метода координат или геометрических неравенств, показывая, что для любой другой прямой, проходящей через $P$, получится треугольник большей площади).

Ответ: описан в решении.