Номер 268, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

268. В остроугольном $\Delta ABC$ высота $CH$ равна 5 см, $\angle A = 65^\circ$, $\angle BCH = 40^\circ$. Найдите площадь $\Delta ABC$ с точностью до $0,1 \text{ см}^2$.

Дано:

Треугольник $ABC$ — остроугольный.

Высота $CH = 5$ см.

Угол $\angle A = 65^\circ$.

Угол $\angle BCH = 40^\circ$.

Найти:

Площадь $\triangle ABC$ с точностью до $0,1$ см$^2$.

Решение:

Площадь треугольника $ABC$ может быть найдена по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

Нам известна высота $CH = 5$ см. Необходимо найти длину основания $AB$.

Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$, так как $CH$ является высотой, проведенной к стороне $AB$, и образует прямой угол $90^\circ$ с $AB$ в точке $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$):

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH}$.

Выразим $AH$: $AH = \frac{CH}{\tan(\angle A)}$.

Подставим известные значения: $AH = \frac{5}{\tan(65^\circ)}$.

Используем значение $\tan(65^\circ) \approx 2.1445069$: $AH \approx \frac{5}{2.1445069} \approx 2.3315$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCH$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$):

Для нахождения отрезка $BH$ нам потребуется угол $\angle B$. Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle BHC - \angle BCH = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{BH}$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{CH}{\tan(\angle B)}$.

Подставим известные значения: $BH = \frac{5}{\tan(50^\circ)}$.

Используем значение $\tan(50^\circ) \approx 1.1917536$: $BH \approx \frac{5}{1.1917536} \approx 4.1953$ см.

Длина основания $AB$ треугольника $ABC$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $BH$ (поскольку треугольник остроугольный, точка $H$ лежит между $A$ и $B$):

$AB = AH + BH \approx 2.3315 + 4.1953 \approx 6.5268$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$:

$S_{ABC} \approx \frac{1}{2} \cdot 6.5268 \cdot 5$.

$S_{ABC} \approx 0.5 \cdot 32.634 \approx 16.317$ см$^2$.

Округлим полученный результат до $0.1$ см$^2$:

$S_{ABC} \approx 16.3$ см$^2$.

Ответ:

Площадь $\triangle ABC$ с точностью до $0,1$ см$^2$ составляет $16.3$ см$^2$.