Номер 269, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

269.

a) Докажите, что если провести три медианы треугольника, то они разделят его на 6 равновеликих треугольников.

б) Дан равносторонний треугольник со стороной, равной 10 см. Найдите сумму расстояний от любой его внутренней точки $M$ до сторон треугольника.

а) Докажите, что если провести три медианы треугольника, то они разделят его на 6 равновеликих треугольников.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем три медианы $AD$, $BE$ и $CF$, где точки $D$, $E$, $F$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $G$, которая называется центроидом треугольника.

Доказательство основывается на свойстве медианы делить треугольник на два равновеликих треугольника.

1. Рассмотрим медиану $AD$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника $ABD$ и $ACD$. Поскольку $D$ является серединой $BC$, то $BD = CD$. Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины $A$ на основание $BC$. Следовательно, их площади равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $GBC$. $GD$ является медианой этого треугольника, так как $D$ — середина $BC$ и $G$ лежит на $AD$. По тому же свойству медианы, $GD$ делит треугольник $GBC$ на два равновеликих треугольника: $S_{GBD} = S_{GCD}$.

3. Из равенств $S_{ABD} = S_{ACD}$ и $S_{GBD} = S_{GCD}$ следует, что $S_{ABG} = S_{ABD} - S_{GBD}$ и $S_{ACG} = S_{ACD} - S_{GCD}$. Отсюда получаем $S_{ABG} = S_{ACG}$.

4. Аналогично, используя медиану $BE$, можно доказать, что $S_{ABG} = S_{BCG}$. И используя медиану $CF$, можно доказать, что $S_{BCG} = S_{ACG}$.

5. Таким образом, мы имеем $S_{ABG} = S_{BCG} = S_{ACG}$. Сумма этих трех площадей равна площади всего треугольника $ABC$. Следовательно, каждый из этих трех треугольников ($ABG$, $BCG$, $CAG$) имеет площадь, равную одной трети площади $ABC$: $S_{ABG} = S_{BCG} = S_{ACG} = \frac{1}{3} S_{ABC}$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $ABG$. Точка $F$ является серединой стороны $AB$, так как $CF$ — медиана треугольника $ABC$. Следовательно, отрезок $GF$ является медианой треугольника $ABG$ (проведенной из вершины $G$ к середине противоположной стороны $AB$). Медиана $GF$ делит $\triangle ABG$ на два равновеликих треугольника: $S_{AFG} = S_{BFG}$. Поскольку $S_{ABG} = \frac{1}{3} S_{ABC}$, то $S_{AFG} = S_{BFG} = \frac{1}{2} S_{ABG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}$.

7. Аналогично, в треугольнике $BCG$, $D$ — середина $BC$, поэтому $GD$ — медиана $\triangle BCG$. Она делит его на два равновеликих треугольника: $S_{BGD} = S_{CGD} = \frac{1}{2} S_{BCG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}$.

8. И в треугольнике $CAG$, $E$ — середина $AC$, поэтому $GE$ — медиана $\triangle CAG$. Она делит его на два равновеликих треугольника: $S_{CGE} = S_{AGE} = \frac{1}{2} S_{CAG} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}$.

Таким образом, все шесть треугольников, образованные медианами ($AFG$, $BFG$, $BGD$, $CGD$, $CGE$, $AGE$), имеют равные площади, каждая из которых составляет $\frac{1}{6}$ от площади исходного треугольника $ABC$.

Ответ: Доказано.

б) Дан равносторонний треугольник со стороной, равной 10 см. Найдите сумму расстояний от любой его внутренней точки $M$ до сторон треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 10 \text{ см}$.

Внутренняя точка $M$.

Расстояния от точки $M$ до сторон: $h_1, h_2, h_3$.

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

$h_1 + h_2 + h_3$

Решение:

Воспользуемся теоремой Вивиани, которая гласит, что для любой точки внутри равностороннего треугольника сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника равна высоте (длине любой из высот) этого треугольника.

1. Вычислим высоту $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для высоты равностороннего треугольника:

$H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

2. Подставим значение стороны $a = 10 \text{ см}$:

$H = \frac{10 \text{ см} \cdot \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}$

3. Согласно теореме Вивиани, сумма расстояний $h_1 + h_2 + h_3$ равна высоте $H$ треугольника.

$h_1 + h_2 + h_3 = H = 5\sqrt{3} \text{ см}$

Доказательство теоремы Вивиани:

Пусть $S$ - площадь равностороннего треугольника $ABC$. Пусть $M$ - внутренняя точка, а $h_1, h_2, h_3$ - перпендикулярные расстояния от $M$ до сторон $BC, CA, AB$ соответственно. Площадь всего треугольника можно выразить как сумму площадей трех меньших треугольников $MBC, MCA, MAB$, основаниями которых являются стороны исходного треугольника, а высотами - расстояния от точки $M$ до этих сторон.

$S_{ABC} = S_{MBC} + S_{MCA} + S_{MAB}$

Площадь каждого из этих треугольников равна $\frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Поскольку все стороны равностороннего треугольника равны $a$, имеем:

$S_{MBC} = \frac{1}{2} a h_1$

$S_{MCA} = \frac{1}{2} a h_2$

$S_{MAB} = \frac{1}{2} a h_3$

Сложим эти площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

С другой стороны, площадь равностороннего треугольника также может быть выражена как $\frac{1}{2} a H$, где $H$ - высота треугольника.

Сравнивая два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{1}{2} a H = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

Разделив обе части на $\frac{1}{2} a$ (поскольку $a \ne 0$), получаем:

$H = h_1 + h_2 + h_3$

Таким образом, сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна его высоте.

Ответ: $5\sqrt{3} \text{ см}$