Номер 267, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

267. В прямоугольный $\triangle ABC$ вписан прямоугольник $CDEF$ так, что его вершины $D, E, F$ лежат соответственно на сторонах $AC, AB, BC$. Известно, что $\frac{EF}{ED} = \frac{1}{2}$, $AC = 6$ дм, $BC = 8$ дм. Найдите площадь прямоугольника $CDEF$.

Дано:

Прямоугольный $\triangle ABC$.

Вписан прямоугольник $CDEF$.

Вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AC, AB, BC$ соответственно.

Отношение сторон прямоугольника: $\frac{EF}{ED} = \frac{1}{2}$.

Длины катетов треугольника: $AC = 6$ дм, $BC = 8$ дм.

Перевод в СИ:

$AC = 6$ дм $= 0.6$ м

$BC = 8$ дм $= 0.8$ м

Найти:

Площадь прямоугольника $CDEF$, $S_{CDEF}$.

Решение:

По условию задачи, прямоугольник $CDEF$ вписан в прямоугольный треугольник $ABC$. Вершины $D, E, F$ лежат на сторонах $AC, AB, BC$ соответственно. Поскольку $CDEF$ является прямоугольником и его вершины $D$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$, а $C$ является вершиной прямоугольника, то угол $C$ треугольника $ABC$ должен быть прямым ($90^\circ$).

Обозначим длины сторон прямоугольника $CD = x$ и $CF = y$.

Площадь прямоугольника $S_{CDEF} = x \cdot y$.

Из условия $\frac{EF}{ED} = \frac{1}{2}$ и свойств прямоугольника ($EF = CD = x$, $ED = CF = y$) следует, что:

$\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2x$

Рассмотрим подобные треугольники. Поскольку $EF \parallel AC$ (так как $EF \parallel CD$, а $CD$ лежит на $AC$), треугольник $\triangle EFB$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC}$

Длина отрезка $BF = BC - CF = 8 - y$.

Подставляем известные значения:

$\frac{x}{6} = \frac{8 - y}{8}$

$8x = 6(8 - y)$

$8x = 48 - 6y$ (Уравнение 1)

Аналогично, поскольку $DE \parallel BC$ (так как $DE \parallel CF$, а $CF$ лежит на $BC$), треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Длина отрезка $AD = AC - CD = 6 - x$.

Подставляем известные значения:

$\frac{6 - x}{6} = \frac{y}{8}$

$8(6 - x) = 6y$

$48 - 8x = 6y$ (Уравнение 2)

Заметим, что Уравнение 1 ($8x = 48 - 6y$) и Уравнение 2 ($48 - 8x = 6y$) эквивалентны, так как оба приводятся к виду $8x + 6y = 48$.

Теперь решим систему уравнений, используя Уравнение 1 и соотношение $y = 2x$:

1) $8x + 6y = 48$

2) $y = 2x$

Подставим $y = 2x$ в первое уравнение:

$8x + 6(2x) = 48$

$8x + 12x = 48$

$20x = 48$

$x = \frac{48}{20} = \frac{12}{5}$ дм

Теперь найдем значение $y$:

$y = 2x = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ дм

Площадь прямоугольника $CDEF$ равна произведению его сторон $x$ и $y$:

$S_{CDEF} = x \cdot y = \frac{12}{5} \cdot \frac{24}{5} = \frac{12 \cdot 24}{25} = \frac{288}{25}$ дм$^2$

Представим результат в десятичном виде:

$S_{CDEF} = 11.52$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь прямоугольника CDEF составляет $11.52$ дм$^2$.