Номер 272, страница 128 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

272. 1A) Постройте квадрат, равновеликий прямоугольнику, со сторонами 4 см и 9 см.

2A) Найдите площадь ромба со стороной 4 м и углом $30^\circ$.

3B) В прямоугольном треугольнике один катет короче другого на 1 дм, а гипотенуза равна 5 дм. Найдите его площадь.

4B) Точка $M$ – середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$. Точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$. Найдите площадь квадрата $ABCD$, если $S_{AMN} = 1$ см$^2$.

5C) Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, диагонали которой пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.

1A)

Построение квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами $a$ и $b$ ($a=4$ см, $b=9$ см), сводится к построению стороны квадрата, равной среднему геометрическому этих сторон, то есть $s = \sqrt{ab}$.

Решение

1. Проводим произвольную прямую.
2. На этой прямой откладываем отрезки $AB = a = 4$ см и $BC = b = 9$ см так, чтобы они лежали на одной прямой, а точка $B$ находилась между $A$ и $C$. Длина отрезка $AC$ составит $a+b = 4+9 = 13$ см.
3. На отрезке $AC$ как на диаметре строим полуокружность. Для этого находим середину отрезка $AC$ (обозначим её $O_1$) и радиусом $R = AO_1 = O_1C = \frac{AC}{2} = 6.5$ см проводим полуокружность.
4. Из точки $B$ проводим перпендикуляр к прямой $AC$ до пересечения с полуокружностью. Точку пересечения обозначим $D$.
5. Длина отрезка $BD$ является искомой стороной квадрата. По свойству высоты, опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, $BD^2 = AB \cdot BC$, то есть $BD = \sqrt{AB \cdot BC} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ см.
6. Построим квадрат со стороной, равной длине отрезка $BD$.

Ответ: Сторона квадрата, равновеликого данному прямоугольнику, равна $6$ см. Построение выполняется согласно описанным шагам.

2A)

Дано: сторона ромба $a = 4$ м угол ромба $\alpha = 30^\circ$

Система СИ: Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти: Площадь ромба $S_{ромба}$

Решение: Площадь ромба может быть найдена по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — длина стороны ромба, а $\alpha$ — величина угла между сторонами. В нашем случае: $S = 4^2 \cdot \sin(30^\circ)$ $S = 16 \cdot \frac{1}{2}$ $S = 8$

Ответ: Площадь ромба равна $8 \text{ м}^2$.

3B)

Дано: Прямоугольный треугольник. Пусть катеты $a$ и $b$. $|a - b| = 1$ дм. Гипотенуза $c = 5$ дм.

Система СИ: Катет короче другого на $1$ дм $= 0.1$ м. Гипотенуза $c = 5$ дм $= 0.5$ м. Мы будем проводить расчеты в дециметрах, поскольку исходные данные даны в них, и это удобнее для вычислений. Результат будет в дм².

Найти: Площадь треугольника $S_{треугольника}$

Решение: Пусть один катет равен $x$ дм. Тогда второй катет равен $(x+1)$ дм. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$ $x^2 + (x+1)^2 = 5^2$ $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$ $2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0$ $2x^2 + 2x - 24 = 0$ Разделим все на 2: $x^2 + x - 12 = 0$ Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{-1 \pm 7}{2}$ Возможные значения $x$: $x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ Длина катета не может быть отрицательной, поэтому $x = 3$ дм. Тогда один катет $a = 3$ дм, а второй катет $b = x+1 = 3+1 = 4$ дм. Проверим по теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Верно. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4$ $S = \frac{1}{2} \cdot 12$ $S = 6$

Ответ: Площадь треугольника равна $6 \text{ дм}^2$.

4B)

Дано: Квадрат $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$. Точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $1:3$, считая от точки $A$. ($AN:ND = 1:3$) Площадь треугольника $AMN$, $S_{\Delta AMN} = 1 \text{ см}^2$.

Система СИ: Все данные уже представлены в системе СИ (хотя тут только $S_{\Delta AMN}$ в см², остальные данные выражены через стороны квадрата).

Найти: Площадь квадрата $ABCD$, $S_{ABCD}$.

Решение: Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $x$. Тогда $AB = AD = x$. По условию, точка $M$ — середина стороны $AB$. Следовательно, длина отрезка $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2}$. Точка $N$ делит сторону $AD$ в отношении $1:3$, считая от точки $A$. Это означает, что $AN = \frac{1}{1+3}AD = \frac{1}{4}AD = \frac{x}{4}$. Треугольник $AMN$ является прямоугольным, так как угол $A$ в квадрате равен $90^\circ$. Площадь прямоугольного треугольника $AMN$ вычисляется по формуле: $S_{\Delta AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN$ Подставим известные значения: $1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{4}$ $1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{8}$ $1 = \frac{x^2}{16}$ Чтобы найти $x^2$, умножим обе части уравнения на $16$: $x^2 = 16 \cdot 1$ $x^2 = 16$ Площадь квадрата $ABCD$ равна $x^2$.

Ответ: Площадь квадрата $ABCD$ равна $16 \text{ см}^2$.

5C)

Дано: Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. ($AD \parallel BC$) Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Найти: Доказать, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны. ($S_{\Delta AOB} = S_{\Delta COD}$)

Решение: Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. Оба этих треугольника имеют общую сторону $AD$, которая является одним из оснований трапеции. Так как $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции, они параллельны ($AD \parallel BC$). Высота трапеции, проведенная из любой точки на $BC$ к $AD$, будет одинаковой. Это означает, что расстояния от вершин $B$ и $C$ до основания $AD$ равны. Таким образом, треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют одинаковое основание $AD$ и одинаковые высоты, проведенные к этому основанию. Следовательно, их площади равны: $S_{\Delta ABD} = S_{\Delta ACD}$ Теперь рассмотрим, из каких частей состоят эти площади: Площадь треугольника $ABD$ состоит из площади треугольника $AOB$ и площади треугольника $AOD$: $S_{\Delta ABD} = S_{\Delta AOB} + S_{\Delta AOD}$ Площадь треугольника $ACD$ состоит из площади треугольника $COD$ и площади треугольника $AOD$: $S_{\Delta ACD} = S_{\Delta COD} + S_{\Delta AOD}$ Поскольку мы уже установили, что $S_{\Delta ABD} = S_{\Delta ACD}$, мы можем приравнять правые части этих уравнений: $S_{\Delta AOB} + S_{\Delta AOD} = S_{\Delta COD} + S_{\Delta AOD}$ Вычтем $S_{\Delta AOD}$ из обеих частей уравнения: $S_{\Delta AOB} = S_{\Delta COD}$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.