Номер 276, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

276.а) Точка $M$ удалена от начала координат на расстояние в 3 раза большее, чем точка $N$. Найдите $OM$, если $N(-3; 4)$.

б) Длина отрезка равна 6. Постройте систему координат, в которой можно было бы легко найти координаты: 1) концов этого отрезка; 2) вершин равностороннего треугольника со стороной, равной 6.

a)

Дано:
Координаты точки $N$: $N(-3; 4)$
Соотношение расстояний от начала координат: $OM = 3 \cdot ON$

Перевод в СИ: Данные представлены в условных единицах длины и не требуют перевода в систему СИ.

Найти: $OM$

Решение:
Расстояние от начала координат $O(0;0)$ до любой точки $P(x; y)$ вычисляется по формуле:
$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$
Применим эту формулу для точки $N(-3; 4)$:
$ON = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}$
$ON = \sqrt{9 + 16}$
$ON = \sqrt{25}$
$ON = 5$
По условию задачи, расстояние $OM$ в 3 раза больше расстояния $ON$:
$OM = 3 \cdot ON$
$OM = 3 \cdot 5$
$OM = 15$

Ответ: $15$

б)

Для того чтобы легко найти координаты концов отрезка или вершин равностороннего треугольника, следует расположить элементы геометрии наиболее удобным образом относительно осей координат, используя их симметрию и особенности.

1) концов этого отрезка;

Чтобы легко найти координаты концов отрезка длиной 6, можно расположить один конец отрезка в начале координат, а другой - на одной из координатных осей. Это упрощает определение координат.
Построение системы координат:
Расположим один конец отрезка, назовем его точкой $A$, в начале координат $O(0;0)$.
Направим ось абсцисс (ось X) вдоль отрезка $AB$. Поскольку длина отрезка равна 6, другой конец отрезка, точка $B$, будет находиться на расстоянии 6 от начала координат по оси X.
Координаты:
Координаты точки $A$: $A(0;0)$
Координаты точки $B$: $B(6;0)$
В такой системе координат координаты концов отрезка определяются мгновенно.

Ответ: Система координат, где один конец отрезка расположен в начале координат, а второй - на положительной части оси X. Например, $A(0;0)$ и $B(6;0)$.

2) вершин равностороннего треугольника со стороной, равной 6.

Для равностороннего треугольника со стороной 6, удобно расположить одну из сторон на оси абсцисс и одну из вершин в начале координат.
Построение системы координат:
Пусть данный равносторонний треугольник будет $ABC$ со стороной $a=6$.
Разместим вершину $A$ в начале координат $O(0;0)$.
Разместим вершину $B$ на оси абсцисс (оси X) на расстоянии, равном длине стороны, то есть 6.
Координаты вершин $A$ и $B$ будут $A(0;0)$ и $B(6;0)$.
Для нахождения координат вершины $C$, воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
В нашем случае сторона $a=6$, поэтому высота:
$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
X-координата вершины $C$ будет находиться ровно посередине между X-координатами $A$ и $B$, так как высота в равностороннем треугольнике также является медианой.
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0+6}{2} = 3$
Y-координата вершины $C$ будет равна высоте $h$.
Координаты:
Координаты точки $A$: $A(0;0)$
Координаты точки $B$: $B(6;0)$
Координаты точки $C$: $C(3; 3\sqrt{3})$
(Также возможен вариант $C(3; -3\sqrt{3})$, если треугольник расположен в нижней полуплоскости относительно оси X.)

Ответ: Система координат, где одна вершина треугольника находится в начале координат, одна из сторон лежит на оси X. Например, $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(3; 3\sqrt{3})$.