Номер 282, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

282. Докажите, что:

а) точки $A(3; -6)$, $B(-2; 4)$ и $C(1; -2)$ лежат на одной прямой;

б) точки $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $O(0; 0)$ являются вершинами квадрата.

а) точки $A(3; -6)$, $B(-2; 4)$ и $C(1; -2)$ лежат на одной прямой

Дано:

Точки $A(3; -6)$, $B(-2; 4)$, $C(1; -2)$.

Найти:

Доказать, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.

Решение:

Для того чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, можно найти уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, и затем проверить, лежит ли третья точка на этой прямой.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(3; -6)$ и $B(-2; 4)$.

Сначала вычислим угловой коэффициент ($m$) этой прямой по формуле $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

$m_{AB} = \frac{4 - (-6)}{-2 - 3} = \frac{4 + 6}{-5} = \frac{10}{-5} = -2$

Теперь используем уравнение прямой в виде $y - y_1 = m(x - x_1)$ с точкой $A(3; -6)$ и угловым коэффициентом $m = -2$:

$y - (-6) = -2(x - 3)$

$y + 6 = -2x + 6$

$y = -2x$

Получили уравнение прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Теперь подставим координаты точки $C(1; -2)$ в это уравнение, чтобы проверить, лежит ли она на данной прямой:

$-2 = -2(1)$

$-2 = -2$

Поскольку подстановка координат точки $C$ удовлетворяет уравнению прямой, это означает, что точка $C$ лежит на той же прямой, что и точки $A$ и $B$. Следовательно, все три точки $A, B, C$ лежат на одной прямой.

Ответ:

б) точки $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $O(0; 0)$ являются вершинами квадрата

Дано:

Точки $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $O(0; 0)$.

Найти:

Доказать, что точки $A, B, C, O$ являются вершинами квадрата.

Решение:

Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы все его стороны были равны и его диагонали также были равны.

Рассмотрим четырехугольник, образованный данными точками, например, $OABC$. Вычислим длины всех его сторон и диагоналей, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длины сторон:

$OA = \sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$AB = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

$BC = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$CO = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Все четыре стороны $OA, AB, BC, CO$ имеют одинаковую длину, равную $\sqrt{17}$. Это означает, что четырехугольник $OABC$ является ромбом.

Длины диагоналей:

Диагональ $OB$ (соединяет $O(0;0)$ и $B(3;5)$):

$OB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

Диагональ $AC$ (соединяет $A(4;1)$ и $C(-1;4)$):

$AC = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$

Длины диагоналей $OB$ и $AC$ равны ($\sqrt{34}$).

Так как все стороны четырехугольника $OABC$ равны и его диагонали также равны, данный четырехугольник является квадратом.

Ответ: