Номер 278, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

278. a) Найдите координаты середины отрезка $AB$, если $A(4; -3)$, $B(-2; 1)$.

б) В некоторой системе координат оказались стертыми координатные оси и остались отмеченными лишь точки $A(5; 2)$ и $B(-5; 2)$. Восстановите эту систему координат.

a) Найдите координаты середины отрезка AB, если A(4; -3), B(-2; 1).

Дано: точки $A(4; -3)$ и $B(-2; 1)$.

Найти: координаты середины отрезка $AB$.

Решение

Для нахождения координат середины отрезка $AB$, обозначим ее как $M(x_M; y_M)$, используются следующие формулы:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим значения координат точек $A(4; -3)$ и $B(-2; 1)$ в эти формулы:

$x_M = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: Координаты середины отрезка $AB$ равны $(1; -1)$.

б) В некоторой системе координат оказались стертыми координатные оси и остались отмеченными лишь точки A(5; 2) и B(-5; 2). Восстановите эту систему координат.

Дано: точки $A(5; 2)$ и $B(-5; 2)$.

Найти: восстановить систему координат.

Решение

1. Заметим, что y-координаты обеих данных точек $A(5; 2)$ и $B(-5; 2)$ одинаковы ($y_A = y_B = 2$). Это означает, что отрезок $AB$ является горизонтальным и лежит на прямой, параллельной оси x, проходящей через $y=2$.

2. Поскольку ось абсцисс (x-ось) - это прямая, где $y=0$, она должна быть параллельна отрезку $AB$ и проходить на 2 единицы ниже прямой $y=2$. Таким образом, положение x-оси восстановлено: это прямая $y=0$.

3. Найдем координаты середины отрезка $AB$. Обозначим ее как $M(x_M; y_M)$.

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{5 + (-5)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка $AB$ имеет координаты $M(0; 2)$.

4. Поскольку x-координата середины отрезка $M$ равна $0$, это означает, что ось ординат (y-ось), где $x=0$, проходит через эту точку $M(0; 2)$. Таким образом, положение y-оси восстановлено: это прямая $x=0$.

5. Точка пересечения восстановленных осей ($x=0$ и $y=0$) является началом координат $(0; 0)$.

6. Единичный отрезок для каждой оси определяется расстояниями от восстановленных осей до данных точек. Например, для точки $A(5; 2)$, расстояние по оси x от начала координат до точки $A$ равно 5 единиц, а по оси y - 2 единицы. Это устанавливает масштаб для осей.

Ответ: Система координат восстанавливается следующим образом: x-ось является прямой $y=0$, y-ось является прямой $x=0$. Начало координат находится в их пересечении, точке $(0;0)$. Единичный отрезок на осях определяется исходя из координат данных точек.