Номер 281, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

281. Докажите, что четырехугольник, координаты вершин которого равны $(-1; -2)$, $(2; -5)$, $(1; -2)$, $(-2; 1)$, является параллелограммом и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-1, -2)$

$B(2, -5)$

$C(1, -2)$

$D(-2, 1)$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

1. Доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Найти координаты точки пересечения его диагоналей.

Решение

Доказательство, что четырехугольник является параллелограммом

Чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, достаточно показать, что его диагонали делятся точкой пересечения пополам. То есть, середина одной диагонали совпадает с серединой другой диагонали.

Пусть вершины четырехугольника имеют координаты: $A(-1, -2)$, $B(2, -5)$, $C(1, -2)$, $D(-2, 1)$.

Найдем координаты середины $M_{AC}$ диагонали $AC$. Формула для середины отрезка с концами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ есть $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

Координаты середины $M_{AC}$ диагонали $AC$:

$M_{AC} = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{-2+(-2)}{2}\right)$

$M_{AC} = \left(\frac{0}{2}, \frac{-4}{2}\right)$

$M_{AC} = (0, -2)$

Найдем координаты середины $M_{BD}$ диагонали $BD$:

$M_{BD} = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{-5+1}{2}\right)$

$M_{BD} = \left(\frac{0}{2}, \frac{-4}{2}\right)$

$M_{BD} = (0, -2)$

Так как координаты середин обеих диагоналей совпадают ($M_{AC} = M_{BD} = (0, -2)$), это означает, что диагонали $AC$ и $BD$ делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Нахождение координат точки пересечения диагоналей

Точкой пересечения диагоналей параллелограмма является их общая середина.

Из предыдущего пункта мы нашли, что координаты середины диагоналей $AC$ и $BD$ равны $(0, -2)$.

Таким образом, точка пересечения диагоналей $P$ имеет координаты $(0, -2)$.

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей равны $(0, -2)$.