Номер 285, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

285. Квадрат $ABCD$ лежит в I координатной четверти и имеет координаты вершин $A(1; 1)$, $B(1; 5)$, $D(5; 1)$. Точка $M$ – середина стороны $CD$, а точка $N$ лежит на $AC$ и $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{3}$. Найдите координаты точек $M$ и $N$ и докажите, что треугольник $DMN$ равнобедренный.

Дано:
Квадрат $ABCD$
Координаты вершин: $A(1; 1)$, $B(1; 5)$, $D(5; 1)$
Точка $M$ — середина стороны $CD$
Точка $N$ лежит на $AC$ и $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{3}$

Найти:
Координаты точек $M$ и $N$
Доказать, что треугольник $DMN$ равнобедренный

Решение:

1. Определение координат вершины C
Поскольку $ABCD$ — квадрат, то вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$.
Координаты $A(1; 1)$, $D(5; 1)$. Вектор $\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (5-1; 1-1) = (4; 0)$.
Координаты $B(1; 5)$. Пусть координаты точки $C$ будут $(x_C; y_C)$.
Вектор $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (x_C - 1; y_C - 5)$.
Приравнивая векторы: $(x_C - 1; y_C - 5) = (4; 0)$.
Отсюда $x_C - 1 = 4 \Rightarrow x_C = 5$.
И $y_C - 5 = 0 \Rightarrow y_C = 5$.
Таким образом, координаты вершины $C(5; 5)$.

2. Определение координат точки M
Точка $M$ — середина стороны $CD$.
Координаты $C(5; 5)$ и $D(5; 1)$.
Используем формулу для координат середины отрезка: $M_x = \frac{x_C + x_D}{2}$, $M_y = \frac{y_C + y_D}{2}$.
$M_x = \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$M_y = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Таким образом, координаты точки $M(5; 3)$.

3. Определение координат точки N
Точка $N$ лежит на $AC$ и делит его в отношении $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{3}$.
Координаты $A(1; 1)$ и $C(5; 5)$.
Используем формулу для координат точки, делящей отрезок в заданном отношении: $N_x = \frac{k_2 x_A + k_1 x_C}{k_1 + k_2}$, $N_y = \frac{k_2 y_A + k_1 y_C}{k_1 + k_2}$, где $k_1=1$ и $k_2=3$.
$N_x = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{1 + 3} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$N_y = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{1 + 3} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Таким образом, координаты точки $N(2; 2)$.

4. Доказательство, что треугольник DMN равнобедренный
Для доказательства необходимо вычислить длины сторон треугольника $DMN$ с вершинами $D(5; 1)$, $M(5; 3)$, $N(2; 2)$.
Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Длина стороны $DM$:
$DM = \sqrt{(x_M - x_D)^2 + (y_M - y_D)^2} = \sqrt{(5-5)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.
Длина стороны $MN$:
$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(2-5)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны $DN$:
$DN = \sqrt{(x_N - x_D)^2 + (y_N - y_D)^2} = \sqrt{(2-5)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
Поскольку $MN = DN = \sqrt{10}$, треугольник $DMN$ является равнобедренным.

Ответ: Координаты точки $M(5; 3)$, координаты точки $N(2; 2)$. Треугольник $DMN$ является равнобедренным, так как длины его сторон $MN$ и $DN$ равны $\sqrt{10}$.