Вопросы, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется уравнением линии на плоскости?

2. Выведите уравнение прямой.

1. Что называется уравнением линии на плоскости?

Уравнением линии (или кривой) на плоскости называется уравнение с двумя переменными $x$ и $y$, которому удовлетворяют координаты $x$ и $y$ каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. Иными словами, это алгебраическая связь между координатами $x$ и $y$ всех точек, составляющих данную линию.

Ответ:

2. Выведите уравнение прямой.

Решение

Выведем уравнение прямой, используя подход с заданной точкой и угловым коэффициентом. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат $Oxy$.

Рассмотрим прямую $L$, которая проходит через фиксированную точку $M_0(x_0, y_0)$ и имеет заданный угловой коэффициент $k$. Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$, т.е. $k = \tan\alpha$.

Возьмем произвольную точку $M(x, y)$, лежащую на прямой $L$. Если прямая не является вертикальной (т.е. $x \ne x_0$, и $k$ является конечным числом), то угловой коэффициент $k$ для любых двух точек $M_0(x_0, y_0)$ и $M(x, y)$ на этой прямой может быть выражен как отношение изменения координаты $y$ к изменению координаты $x$:

$\qquad k = \frac{y - y_0}{x - x_0}$

Умножим обе части этого уравнения на $(x - x_0)$ (при условии $x \ne x_0$):

$\qquad y - y_0 = k(x - x_0)$

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом (или точечно-угловым уравнением прямой).

Если раскрыть скобки и перегруппировать члены, получим:

$\qquad y = kx - kx_0 + y_0$

Обозначим $b = y_0 - kx_0$. Тогда уравнение принимает вид:

$\qquad y = kx + b$

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом или уравнением прямой в форме с отрезком, отсекаемым на оси $Oy$. Здесь $b$ - это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Также возможно вывести общее уравнение прямой. Перенесем все члены уравнения $y - y_0 = k(x - x_0)$ в одну сторону:

$\qquad kx - y - kx_0 + y_0 = 0$

Обозначим $A = k$, $B = -1$, $C = y_0 - kx_0$. Тогда уравнение принимает вид:

$\qquad Ax + By + C = 0$

Это общее уравнение прямой, где $A$, $B$, $C$ — некоторые постоянные, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

Отдельный случай: Если прямая вертикальна (параллельна оси $Oy$), ее угловой коэффициент $k$ не определен, так как $x - x_0 = 0$. В этом случае все точки на прямой имеют одинаковую абсциссу, равную $x_0$. Уравнение такой прямой имеет вид $x = x_0$. В общем уравнении $Ax + By + C = 0$, это соответствует случаю $B = 0$ и $A \ne 0$.

Ответ: