Номер 292, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

292. Составьте уравнение прямой, отрезок AB которой, заключенный между осями координат, делится точкой $C(2; -1)$ пополам.

Дано:

Точка $C(2; -1)$ является серединой отрезка $AB$.

Отрезок $AB$ заключен между осями координат, что означает, что точка $A$ лежит на оси $Ox$ и имеет координаты $A(x_A; 0)$, а точка $B$ лежит на оси $Oy$ и имеет координаты $B(0; y_B)$.

Найти:

Уравнение прямой, содержащей отрезок $AB$.

Решение:

Поскольку точка $C(2; -1)$ является серединой отрезка $AB$, мы можем использовать формулы для координат середины отрезка. Если $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ - концы отрезка, а $C(x_C, y_C)$ - его середина, то $x_C = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_C = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

В нашем случае $C(x_C, y_C) = C(2, -1)$, $A(x_A, 0)$ и $B(0, y_B)$. Подставим эти значения в формулы:

$2 = \frac{x_A + 0}{2}$

$-1 = \frac{0 + y_B}{2}$

Решим первое уравнение относительно $x_A$: $x_A = 2 \cdot 2 = 4$.

Решим второе уравнение относительно $y_B$: $y_B = -1 \cdot 2 = -2$.

Таким образом, координаты точек, в которых прямая пересекает оси координат, следующие: $A(4; 0)$ и $B(0; -2)$.

Теперь, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через эти две точки, можно использовать уравнение прямой в отрезках на осях. Это уравнение имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ - это абсцисса точки пересечения с осью $Ox$ (x-перехват), а $b$ - ордината точки пересечения с осью $Oy$ (y-перехват).

В нашем случае $a = 4$ и $b = -2$. Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1$

$\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1$

Чтобы преобразовать это уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, который равен $4$:

$4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{y}{2} = 4 \cdot 1$

$x - 2y = 4$

Перенесем константу в левую часть уравнения:

$x - 2y - 4 = 0$

Ответ:

$x - 2y - 4 = 0$