Номер 297, страница 142 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

297. Найдите координаты центра окружности и ее радиус, если известно уравнение окружности:

a) $(x+2)^2+y^2=9$

б) $x^2+(y-4)^2=8$

в) $(x-5)^2+(y+7)^2=16$

Дано

Уравнения окружностей:

а) $(x + 2)^2 + y^2 = 9$

б) $x^2 + (y - 4)^2 = 8$

в) $(x - 5)^2 + (y + 7)^2 = 16$

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами и радиусами в абстрактной декартовой системе)

Найти:

Координаты центра окружности $(h, k)$ и ее радиус $r$ для каждой из данных окружностей.

Решение

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.

а)

Дано уравнение окружности: $(x + 2)^2 + y^2 = 9$.

Перепишем его в стандартном виде, чтобы явно выделить $h$, $k$ и $r^2$: $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, получаем:

Координаты центра: $h = -2$, $k = 0$, то есть $(-2, 0)$.

Радиус: $r^2 = 9$, следовательно $r = \sqrt{9} = 3$ (радиус всегда положителен).

Ответ: Координаты центра $(-2, 0)$, радиус $3$.

б)

Дано уравнение окружности: $x^2 + (y - 4)^2 = 8$.

Перепишем его в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{8})^2$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, получаем:

Координаты центра: $h = 0$, $k = 4$, то есть $(0, 4)$.

Радиус: $r^2 = 8$, следовательно $r = \sqrt{8}$. Упростим $\sqrt{8}$: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: Координаты центра $(0, 4)$, радиус $2\sqrt{2}$.

в)

Дано уравнение окружности: $(x - 5)^2 + (y + 7)^2 = 16$.

Перепишем его в стандартном виде: $(x - 5)^2 + (y - (-7))^2 = 4^2$.

Сравнивая это уравнение с общим видом $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, получаем:

Координаты центра: $h = 5$, $k = -7$, то есть $(5, -7)$.

Радиус: $r^2 = 16$, следовательно $r = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Координаты центра $(5, -7)$, радиус $4$.